Question

Equação exponencial

4^x - 2^x = 2

Por favor queria uma explicação detalhada

Answer 1

Olá Ana,

use a propriedade da exponenciação..

$(a^m)^n\Longleftrightarrow(a^n)^m$

vamos à resolução..

$4^x-2^x=2\\ (2^2)^{x}-2^x-2=0\\ (2^x)^2-2^x-2=0~~(eq.~do~2^o~grau)\\\\2^x=y,~~para~facilitar\\\\ y^2-y-2=0\\\\\begin{cases}a=1\\ b=-1\\ c=-2\end{cases}\\\\\\ \Delta=b^2-4ac\\ \Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-2)\\ \Delta=1+8\\ \Delta=9$

$y= \dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta} }{2a}= \dfrac{-(-1)\pm \sqrt{9} }{2\cdot1}= \dfrac{1\pm3}{2}\begin{cases}y'= \dfrac{1-3}{2}= \dfrac{-2}{~~2}=-1\\\\ y''= \dfrac{1+3}{2}= \dfrac{4}{2}=2 \end{cases}$

Temos que y= -1 não serve no campo dos reais, somente y=2. Podemos então retomar a variável original..

$2^x=y\\ 2^x=2\\ \not2^x=\not2^1\\\\ x=1$

Portanto..

$\Huge\boxed{S=\{1\}}$


Espero ter ajudado vc e tenha ótimos estudos ;D