Question

Equação do plano tangente( cálculo 3)

Determine uma equa¸c˜ao do plano tangente ao cone z^2 = x^2+y^2 no ponto (1, 1,√2).

Answer 1

Vamos parametrizar o cone em polar

$\\ x = rCos \alpha \\ y = rSen \alpha$

Sabemos que x²+y² = r²

Então:

z² = r²

z = r
------------------------------

Como o ponto (1, 1 , √2) = (x, y , z)

Logo,

x = 1
y = 1
z = √2

Se Z = r

r = √2

Então:

x = rCosα

1 = √2.Cosα

Cosα = 1/√2

Cosα = √2/2

α = arcCos(√2/2)

α = 45° 

α = π/4
------------------------------------------

Então:

$R( r, \alpha ) = rCos \alpha i+rSen \alpha j+rk$

O vetor normal do plano é calculado por:

$n = \frac{dR}{dr} X \frac{dR}{d \alpha }$

Calculado no ponto (r, α)

Então:

$\\ \frac{dR}{dr} = Cos \alpha i+Sen \alpha j+1k \\ \\ \frac{dR}{dr} ( \sqrt{2} , \frac{ \pi }{4} ) = \frac{ \sqrt{2} }{2} i+ \frac{ \sqrt{2} }{2} j+1k$

E

$\\ \frac{dR}{d \alpha } = -rSen \alpha +rCos \alpha +0k \\ \\ \frac{dR}{d \alpha }( \sqrt{2} , \frac{ \pi }{4} ) = - 1i+1j+0k$
-------------------------------

Logo:

$\\ n = \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\ \frac{ \sqrt{2} }{2} & \frac{ \sqrt{2} }{2} &1\\ -1& 1 &0\end{array}\right] \\ \\ \\ n = 0i-1 j+\frac{ \sqrt{2} }{2} k- (-\frac{ \sqrt{2} }{2}k+1i) \\ \\ n =- 1 i-1 j+\frac{ 2\sqrt{2} }{2} k$

$n = -1i-ij + \sqrt{2}. k$

Como sabemos,

O plano é calculado pelo produto escalar entre o vetor normal e um vetor qualquer sobre o plano que passa sobre o ponto "P"

π: = n.PQ

P = (1, 1, √2)

Q = (x, y, z)

PQ = Q - P

PQ = (x , y, z) - (1, 1, √2)

PQ = (x -1, y - 1, z -√2)

Logo:

$\pi : (-1, -1, \sqrt{2} ).(x-1, y-1, z - \sqrt{2} ) = 0 \\ \\ (-x+1)+(-y+1) +( \sqrt{2} .z - 2) = 0 \\ \\ -x-y +2 + \sqrt{2} .z - 2 = 0 \\ \\ -x - y + \sqrt{2}.z = 0 \\ \\ x+y - (\sqrt{2} )z = 0$

Answer 2

✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que a equação geral do plano tangente à referida superfície pelo respetivo ponto é:

     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \pi: x + y - \sqrt{2}z = 0\:\:\:}}\end{gathered} }$  

Sejam os dados:

            $\Large\begin{cases}c: z^{2} = x^{2} + y^{2}\\T(1, 1, \sqrt{2})\end{cases}$

Organizando a equação da superfície:

             $\Large\begin{cases} s: x^{2} + y^{2} - z^{2} = 0\\T(1, 1, \sqrt{2})\end{cases}$

Para calcular a equação do plano tangente a uma determinada superfície por um determinado ponto de tangência, temos que ter um ponto "T" pertencente ao plano bem como o vetor normal "n" ao plano aplicado ao referido ponto "P", ou seja, precisamos dos seguintes itens:

                $\Large\begin{cases} T(X_{T},Y_{T},Z_{T})\\\vec{n_{\pi}} = (X_{n}, Y_{n},Z_{n})\end{cases}$

Além disso, devemos utilizar a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$      $\large\displaystyle\begin{gathered} X_{n}\cdot X + Y_{n}\cdot Y + Z_{n}\cdot Z = X_{n}\cdot X_{T} + Y_{n}\cdot Y_{T} + Z_{n}\cdot Z_{T}\end{gathered}$

OBSERVAÇÃO: A partir de agora, todas as vezes que me referir à função "f" estarei me referindo à função que originou a superfície do cone.

Para montar a equação do plano tangente, devemos:

• Verificar se o ponto "T" pertence à superfície "c". Caso positivo, existe sim plano tangente à referida superfície. Caso contrário, não existe plano tangente. Para isso, devemos substituir as coordenadas do ponto "T" na equação da superfície. Então, temos:

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1^{2} + 1^{2} - (\sqrt{2})^{2} = 0\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1 + 1 - 2 = 0\end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(II)\end{gathered}$                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} 0 = 0\end{gathered}$

        Como, ambos os membros da equação "II" são iguais, então o ponto "T" pertence à referida superfície. Então:

• Calcular a derivada parcial da função em termos de "x".

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial x} = 2\cdot x^{2 - 1} = 2x\end{gathered}$

• Calcular a derivada parcial da função em termos de "y".

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial y} = 2\cdot y^{2 - 1} = 2y\end{gathered}$

• Calcular a derivada parcial da função em termos de "z".

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial z} = -2\cdot z^{2 - 1} = -2z\end{gathered}$

• Montar o vetor gradiente.

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \nabla f(x, y, z) = \Bigg(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y},\,\frac{\partial f}{\partial z}\Bigg)\end{gathered}$

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (2x,2y, -2z)\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:\nabla f(x, y, z) = (2x, 2y, -2z)\end{gathered}$

• Montar o vetor normal.

        Sabemos que o vetor normal é igual ao vetor gradiente aplicado ao ponto "T", ou seja:

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \vec{n_{\pi}} = \nabla f(T)\end{gathered} }$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \Bigg(\frac{\partial f}{\partial x}\cdot X_{T},\,\frac{\partial f}{\partial y}\cdot Y_{T},\,\frac{\partial f}{\partial z}\cdot Z_{T}\Bigg)\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (2\cdot1, 2\cdot1, -2\cdot\sqrt{2})\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (2, 2, -2\sqrt{2})\end{gathered}$

                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \therefore\:\:\:\vec{n_{\pi}} = (2, 2, -2\sqrt{2})\end{gathered} }$

• Montar a equação geral do plano tangente à superfície.

        Substituindo as coordenadas do ponto "T" e do vetor "n" na equação "I", temos:

          $\large\displaystyle\begin{gathered} 2\cdot x + 2\cdot y + (-2\sqrt{2})\cdot z = 2\cdot1 + 2\cdot1 + (-2\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}\end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2x + 2y - 2\sqrt{2}z = 2 + 2 - 4\end{gathered}$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} (\div2)\: 2x + 2y - 2\sqrt{2}z = 0\:(\div2)\end{gathered}$

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} x + y - \sqrt{2}z = 0\end{gathered}$          

✅ Portanto, a equação do plano tangente é:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} \pi: x + y - \sqrt{2}z = 0\end{gathered}$

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