Question

equação do 2° grau:

$\large\boxed{\begin{array}{l} \rm{ log_{10}\,0,001\,x^{2 } + log_{ \frac{1}{2} } \, \frac{1}{64} } \,x + 3 \,.\, log_{2} \,8 = 0\end{array}}$
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Answer 1

Explicação passo a passo:

$log_{10}0,001x^{2}+log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{64}x+3.log_{2}8$

Para resolvermos esta equação quadrática, vamos calcular primeiro os coeficientes de x², de x e o termo independente.

$log_{10}0,001$

  escreva o 0,001 na forma de potência de base 10 e substitua

       0,001 = 10⁻³

       log₁₀ 0,001 = log₁₀ 10⁻³

  de acordo com a propriedade dos logaritmos: logₐ aⁿ = n logₐ a = n,

  fica

       log₁₀ 10⁻³ = -3 · log₁₀ 10

  de acordo com a propriedade dos logaritmos: logₐ a = 1, fica

       -3 · log₁₀ 10 = -3 · 1 = -3

$log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{64}$

  fatorando o  $\frac{1}{64}=(\frac{1}{2})^{6}$ , substitua

       $log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{64}=log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2})^{6}$

 

  de acordo com a propriedade dos logaritmos: logₐ aⁿ = n logₐ a = n,

  fica

       $log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2})^{6}=6.log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}$

 

  de acordo com a propriedade dos logaritmos: logₐ a = 1, fica

       $6.log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}=6.1=6$

$3log_{2}8$

  fatorando o 8 = 2³, substitua

       $3log_{2}8=3log_{2}2^{3}$

  de acordo com a propriedade dos logaritmos: logₐ aⁿ = n logₐ a = n,

  fica

       $3log_{2}2^{3}=3.3.log_{2}2=3.3.1=9$

Substituindo, temos

    $log_{10}0,001x^{2}+log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{64}x+3.log_{2}8$  →  $-3x^{2}+6x+9=0$

Sabendo que a = -3, b = 6 e c = 9, calcule  Δ = b² - 4ac

    Δ = 6² - 4 · (-3) · 9

    Δ = 36 + 108

    Δ = 144

Calcule as raízes usando a fórmula quadrática  $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

    $x=\frac{-6\pm\sqrt{144}}{2.(-3)}$

    $x=\frac{-6\pm12}{-6}$

    $x_{1}=\frac{-6+12}{-6}$  →  $x_{1}=\frac{6}{-6}$  →  $x_{1}=-1$

    $x_{2}=\frac{-6-12}{-6}$  →  $x_{2}=\frac{-18}{-6}$  →  $x_{2}=3$

Resposta:  x = -1  ou  x = 3