Question

Equação do 2° grau!

Se "A" e "B" são as raízes da equação:
X² + 9X² / X² + 6X + 9 = 27 e "A" > "B", determine "A - B" ?

Answer 1

Vamos lá.

Larissa, após você explicar como está escrito o numerador da sua questão, então vamos tentar respondê-la. Pede-se os valores da subtração "A - B", sabendo-se que "A" e "B" são as raízes da equação abaixo e sabendo-se também que A > B:

(10x²) / (x²+6x+9) = 27 ----- vamos passar o "27" para o 1º membro, ficando:
(10x²) / (x²+6x+9) - 27 = 0

Agora note: como não há divisão por zero, então "x" deverá ser, NECESSARIAMENTE, diferente da raiz da equação do denominador, que é igual a "-3", pois "-3" é raiz da equação do denominador. E, como você sabe, toda raiz zera a equação da qual ela é raiz. Ou seja, se x = - 3 a equação do denominador será igual a zero e, como não há divisão por zero, então "x" JAMAIS poderá ser igual a "-3".
Assim, teremos que impor que x ≠ -3, ou seja, teremos que fazer isto:

(10x²) / (x²+6x+9) - 27 = 0, com x ≠ - 3

Bem, com a imposição que fizemos aí em cima (que x ≠ -3), então poderemos encontrar o mmc do denominador, que vai ser "x²+6x+9" e aplicá-lo no 1º membro, com o que ficaremos assim:

[10x² - 27*(x²+6x+9)]/(x²+6x+9) = 0 --- efetuando-se o produto indicado, temos:
[10x² - 27x² - 162x - 243]/(x²+6x+9) = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:

[- 17x² - 162x - 243]/(x²+6x+9) = 0

Como já impusemos que x ≠ -3, então poderemos multiplicar em cruz, com o que ficaremos assim:

- 17x² - 162x - 243 = (x²+6x+9)*0 --- ou apenas:
- 17x² - 162x - 243 = 0 ---- para facilitar a resolução, vamos multiplicar ambos os membros por "-1",. com o que ficaremos assim:

17x² + 162x + 243 = 0 ---- vamos aplicar Bháskara, para encontrar as duas raízes (A e B), com A > B:

x = [-b+-√(Δ)]/2a ---- veja que os coeficientes e o Δ da sua questão acima são estes:

a = 17 ----- (é o coeficiente de x²)
b = 162 ----(é o coeficiente de x)
c = 243 --- (é o coeficiente do termo independente)
Δ = b² - 4ac = 162² - 4*17*243 = 26.244 - 16.524 = 9.720.
Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula de Bháskara, teremos:

x = [-162 +- √(9.720)]/34

Agora veja que 9.720, quando fatorado é:

9.720 = 2³ * 3⁵ * 5 = 2²*2*3²*3²*3*5 = 2²*3²*3²*2*3*5 = 2²*3²*3²*30. Assim, substituindo-se, teremos:

x = [-162 +- √(2².3².3².30)]/34 ---- note: quem estiver ao quadrado sairá de dentro da raiz quadrada, com o que ficaremos assim:

x = [-162 +-2*3*3√(30)]/34 --- ou apenas:
x = [-162 +- 18√(30)]/34 ---- simplificando-se numerador e denominador por "2", vamos ficar apenas com:

x = [-81 +- 9√(30)]/17 ----- daqui você conclui que:

x' = [-81 - 9√(30)]/17 <--- Esta é a raiz B, que é a menor raiz.
x'' = [-81+9√(30)]/17 <--- Esta é a raiz A, que é a maior raiz.

E veja que ambas as raízes são diferentes de "-3", que era a única condição de existência da função dada na sua questão.
Agora vamos encontrar a diferença A - B pedida. Assim:

A - B = [-81+9√(30)]/17 - [-81-9√(30)]/17 ---- como o denominador é único para cada uma das parcelas acima, então poderemos reescrever assim:

A - B = {[-81+9√(30)] - [-81-9√(30)]}/17 ---- retirando-se os colchetes, vamos ficar da seguinte forma;

A - B = {-81 + 9√(30) + 81 + 9√(30)}/17 ---- reduzindo os termos semelhantes, ficaremos apenas com (veja que "-81" se anula com "+81", ficando apenas 9√(30)+9√(30) , o que vai dar igual a 18√(30) ):

A - B = {18√(30)}/17 --- ou apenas:
A - B = 18√(30)/17 <--- Esta é a resposta, se a sua equação estiver escrita exatamente como você informou.

A propósito, veja se a nossa resposta "bate" com a resposta do gabarito da sua questão. Aliás, seria até interessante que, em questões desse tipo, sempre fossem dadas as opções, para que os "respondedores" pudessem "guiar" as suas respostas.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.