Question

Equação Diferencial Ordinária.



Mostre as soluções da seguinte EDO:


$\frac{dy}{dx} =2.x \sqrt{y-1}$

Answer 1

Olá,

Primeiro perceba que essa edo é do tipo separável. 
$\frac{dy}{dx}=f(x).g(y)$

Nessa situação, devesse encontrar as soluções contantes. Note que y=1 é raiz da função $\sqrt{y-1}$. Daí, y=1 é solução da EDO. Agora, falta encontrar as soluções não constantes.

Separe as variáveis:
$\frac{1}{ \sqrt{y-1} } \frac{dy}{dx} =2x$
e integre
$\displaystyle\int \frac{d}{dx}(2 \sqrt{y-1} )xdx = \int \frac{1}{ \sqrt{y-1} } \frac{dy}{dx} dx=\int 2xdx$.

A solução geral será
$2\sqrt{y-1} =x^2+k$.


Bons estudos.

Answer 2

Vamos separar as variáveis:

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = 2x\sqrt{y-1} \\ \\ \\ \frac{dy}{\sqrt{y-1}} = 2x \, dx \\ \\ \\ \frac{1}{\sqrt{y-1}} \, dy = 2x \, dx \\ \\ \\ \int \frac{1}{\sqrt{y-1}} \, dy = \int 2x \, dx$

Veja a resolução da primeira integral:

$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{y-1}} \, dy \\ \\ \\ u = y-1 \\ \\ du = dy \\ \\ \\ \int \frac{1}{\sqrt{u}} \, du \\ \\ \\ 2\sqrt{u}+c_{1} \\ \\ 2\sqrt{y-1} + c_{1}$

Daí temos:

$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{y-1}} \, dy = \int 2x \, dx \\ \\ \\ 2\sqrt{y-1} + c_{1} = x^2 + c_{2} \\ \\ \\ 2\sqrt{y-1} = x^2 + c_{2} - c_{1} \\ \\ \\ 2\sqrt{y-1} = x^2 + c$

A tarefa agora é isolar a incógnita y:

$\displaystyle 2\sqrt{y-1} = x^2 + c \\ \\ \\ \sqrt{y-1} = \frac{x^2+c}{2} \\ \\ \\ \sqrt{y-1} = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}c \\ \\ \\ y-1 = \bigg( \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}c \bigg)^2 \\ \\ \\ y-1 = \frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}x^2c+\frac{1}{4}c^2 \\ \\ \\ \boxed{ y=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}x^2c+\frac{1}{4}c^2 +1 }$