Question

equação diferencial dy/dx=〖1+y〗^2/〖1+x〗^2 tem como solução

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{y=\dfrac{x+Cx+C}{1-Cx-C},~C\in\mathbb{R}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos a seguinte equação diferencial, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja a equação diferencial:

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{(1+y)^2}{(1+x)^2}$

Multiplique ambos os lados da equação por $\dfrac{dx}{(1+y)^2}$, de forma que

$\dfrac{dy}{(1+y)^2}=\dfrac{dx}{(1+x)^2}$

Integre ambos os lados da equação

$\displaystyle{\int \dfrac{dy}{(1+y)^2}=\int \dfrac{dx}{(1+x)^2}$

Simultaneamente, faça uma substituição nas integrais: $u=1+y$ e $t=1+x$. Diferenciamos ambos os lados das expressões para encontrarmos os diferenciais:

$u'=(1+y)'\\\\\\ \dfrac{du}{dy}=1\Rightarrow du=dy\\\\\\ t'=(1+x)'\\\\\\ \dfrac{dt}{dx}=1\Rightarrow dt=dx$

Dessa forma, teremos:

$\displaystyle{\int \dfrac{du}{u^2}=\int \dfrac{dt}{t^2}$

Para calcular estas integrais, utilize a regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$, lembrando que $\dfrac{1}{x^n}\Leftrightarrow x^{-n$.

$\displaystyle{\int u^{-2}\,du=\int t^{-2}\,dt}\\\\\\ \dfrac{u^{-2+1}}{-2+1}+C_1=\dfrac{t^{-2+1}}{-2+1}+C_2$

Some os valores e calcule as frações

$\dfrac{u^{-1}}{-1}+C_1=\dfrac{t^{-1}}{-1}+C_2\\\\\\\\ -\dfrac{1}{u}+C_1=-\dfrac{1}{t}+C_2$

Desfaça as substituições e subtraia $C_1$ em ambos os lados, considerando $C_2-C_1=C$

$-\dfrac{1}{1+y}=-\dfrac{1}{1+x}+C$

Multiplique ambos os lados da equação por $(-1)$

$\dfrac{1}{1+y}=\dfrac{1}{1+x}-C$

Some as frações

$\dfrac{1}{1+y}=\dfrac{1-(1+x)C}{1+x}$

Invertemos ambas as frações

$1+y=\dfrac{1+x}{1-(1+x)C}$

Subtraia $1$ em ambos os lados da equação

$y=\dfrac{1+x}{1-(1+x)C}-1$

Some as frações

$y=\dfrac{1+x-1+(1+x)C}{1-(1+x)C}$

Some os valores

$y=\dfrac{x+(1+x)C}{1-(1+x)C}$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$y=\dfrac{x+C+Cx}{1-C-Cx}$

Reorganize os termos

$y=\dfrac{x+Cx+C}{1-Cx-C}$

Esta é a solução desta equação diferencial.