Question

Equação diferencial de Bernoulli

Resolva

A)x' +2tx= - 4tx^3
B)x' -tx = x^2

Answer 1

Equação diferencial de Bernoulli é uma EDO de 1ª ordem que pode ser escrita na forma

$x'(t)+p(t)\cdot x(t)=q(t)\cdot x^n~~~~~~\mathbf{(i)}$


E a substituição adequada para equações deste tipo é

$u=x^{1-n}$

___________

A) $x'+2t\cdot x=-4t\cdot x^3$

Temos uma EDO de Bernoulli, com $n=3.$


Façamos a substituição:

$u=x^{1-3}\\\\ u=x^{-2}~~\Rightarrow~~x=\pm\,u^{-1/2}$


Derivando em relação a $t,$

$u'=-2x^{-3}\cdot x'$


Voltemos à nossa EDO:

$x'(t)+2t\cdot x(t)=-4t\cdot x^3$


É óbvio que a função nula

$x(t)=0$

é solução para a EDO.


Supondo agora soluções não-nulas, temos

$x'+2t\cdot x=-4t\cdot x^3\\\\ -2x^{-3}\cdot \big(x'+2t\cdot x \big)=-2x^{-3}\cdot (-4t)\cdot x^3\\\\ -2x^{-3}\cdot x'-4t\cdot x^{-2}=8t\\\\ u'-4t\cdot u=8t~~~~~~\mathbf{(ii)}$


Esta é linear não homogênea. Um fator integrante para esta EDO é

$\mu(t)=e^{\int -4t\,dt}\\\\ \mu(t)=e^{-2t^2}$


Multiplicando os dois lados de $\mathbf{(ii)}$ pelo fator integrante acima, ficamos com

$e^{-2t^2}\cdot (u'-4t\cdot u)=e^{-2t^2}\cdot 8t\\\\ u'\cdot e^{-2t^2}+u\cdot \big(\!-4t\,e^{-2t^2}\big)=-2\cdot \big(\!-4t\,e^{-2t^2}\big)$


Identificamos o lado esquerdo como a derivada de um produto:

$\big(u\cdot e^{-2t^2}\big)'=-2\cdot \big(\!-4t\,e^{-2t^2}\big)$


Integrando em ambos os lados com relação a $t,$

$u\cdot e^{-2t^2}=-2e^{-2t^2}+C\\\\ u=e^{2t^2}\cdot \big(\!\!-2e^{-2t^2}+C\big)\\\\ u=-2+Ce^{2t^2}$


Voltando à variável $x,$

$x=\pm\,u^{-1/2}\\\\ x=\pm\big(\!\!-2+Ce^{2t^2}\big)^{-1/2}\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{rcl} x(t)=-\,\dfrac{1}{\sqrt{2+Ce^{2t^2}}}&~\text{ ou }~&x(t)=\dfrac{1}{\sqrt{2+Ce^{2t^2}}} \end{array}}$


E ainda temos que incluir a solução nula: $x(t)=0.$

________

B) $x'(t)-t\cdot x(t)=x^2$


EDO de Bernoulli, com $n=2.$

Substituição:

$u=x^{1-2}\\\\ u=x^{-1}~~\Rightarrow~~x=u^{-1}$


Derivando em relação a $t,$ temos

$u'=-x^{-2}\cdot x'$


A função nula é solução para a EDO dada. Verifiquemos a existência de soluções não nulas:

$x'-t\cdot x=x^2\\\\ -x^{-2}\cdot (x'-t\cdot x)=-x^{-2}\cdot x^2\\\\ -x^{-2}\cdot x'+x^{-2}\cdot t\cdot x=-1\\\\ -x^{-2}\cdot x'+x^{-1}\cdot t=-1\\\\ u'+t\cdot u=-1$


Esta EDO é linear. Usando o fator integrante,

$\mu(t)=e^{\int t\,dt}\\\\ \mu(t)=e^{t^2/2}$


ficamos com

$e^{t^2/2}\cdot (u'+t\cdot u)=e^{t^2/2}\cdot (-1)\\\\ u'\cdot e^{t^2/2}+u\cdot t\,e^{t^2/2}=-e^{t^2/2}\\\\ \big(u\cdot e^{t^2/2}\big)'=-e^{t^2/2}$


Integrando ambos os lados em $t,$

$\displaystyle u\cdot e^{t^2/2}=-\int\!e^{t^2/2}\,dt+C_1$

( só para clareza, vou incluir a constante de integração, mas sabemos que ela está embutida na integral indefinida, ok? )

$\displaystyle u=-e^{-t^2/2}\cdot \left(\int\!e^{t^2/2}\,dt+C_1 \right )\\\\\\ u=-e^{-t^2/2}\cdot \int\!e^{t^2/2}\,dt-C_1e^{-t^2/2}\\\\\\ u=-e^{-t^2/2}\cdot \int\!e^{t^2/2}\,dt+Ce^{-t^2/2}~~~~~~(\text{onde }C=-C_1)$


Voltando à variável $x,$

$\displaystyle x^{-1}=-e^{-t^2/2}\cdot \int\!e^{t^2/2}\,dt+Ce^{-t^2/2} \\\\\\\ x=-\,\dfrac{1}{e^{-t^2/2}\cdot \int\!e^{t^2/2}\,dt+Ce^{-t^2/2}} \\\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c} x(t)=-\,\dfrac{e^{t^2/2}}{\int\!e^{t^2/2}\,dt+Ce^{-t^2/2}} \end{array}}$


Lembrando que devemos incluir também a solução nula: $x(t)=0.$


Bons estudos! :-)