Question

equação= derivadas help

Answer 1

$f(x)=2x+cos(x)=0$

f(0) = 1 
f(-π) = -2π-1

a função saí do negativo e vai para o positivo ...como é uma função contínua 
então ela vai cortar o eixo do x 
e com certeza terá uma raíz real
logo existe um C tal que 
$\boxed{\boxed{f(C) =0 , \;\;C\in [- \pi ,0]}}$

agora mostrando que está é a unica raíz da equação 
pelo teorema de rolle se existe mais de uma raíz então

$\bmatrix f(a)=f(b)=0\\\\f'(c)=0\end$

derivando a função
$\boxed{f'(x)=2-sen(x)}$

como -sen(x) varia de -1 a 1....
o menor valor que f'(x) vai assumir é quando -sen(x)=-1
ai teremos 2-1 = 1

então ela nunca terá duas raízes
$\boxed{\boxed{f'(C)=2-sen(x) \geq 1}}$
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a segunda é a mesma coisa
$f(x)=x^3+e^x=0$

f(0)= 1
f(-1) = -1 + 1/e  < 0

logo existe um valor C no intervalo [-1,0] tal que f(C)=0

usando o teorema de rolle para comprovar que essa é a unica raíz real
$f'(x)=3x^2+e^x$

x² é positivo para qualquer valor de x
e^x é positivo para qualquer valor de x
$f'(x)\ \textgreater \ 0$

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$f(x)=x^3-15x+C=0 , \;\;[-2,2]$

calculando o valor da função nos extremos do intervalo
f(-2)=22+C
f(2)= -22 +C
mesma assim não da para saber se ela tem alguma raíz neste intervalo
depende do valor atribuido ao C
então vamos provar que ela não tem duas raízes  neste intervalo

$\to f'(x)=3x^2-15$

aplicando o teorema
$f'(K)=3K^2-15=0\\\\3K^2=15\\\\\boxed{K=\pm \sqrt{5}\approx \pm 2,24}$

como K não pertence ao intervalo ..essa função pode ter no máximo uma raíz real neste intervalo