Question

Equação da Reta Tangente de f no ponto xo. 
Alguém ae pode resolver ? valendo 30 pontos

Answer 1

Olá, Jonas.

Como $f(x)=x^{\frac23},$ então $f'(x)=\frac23x^{\frac23-1}=\frac23x^{-\frac13}=\frac23\cdot\frac1{x^\frac13}=\frac2{3\sqrt[3]x}$

A reta tangente no ponto $x_0$ é dada pela seguinte expressão:

$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\Rightarrow y-f(2\sqrt2)=f'(2\sqrt2)(x-2\sqrt2)\Rightarrow\\\\ y-\sqrt[3]{(2\sqrt2)^2}=\frac2{3\sqrt[3]{2\sqrt2}}(x-2\sqrt2)\Rightarrow y-\sqrt[3]8=\frac2{3\sqrt[3]{2^{\frac32}}}(x-2\sqrt2)\Rightarrow\\\\y-2=\frac2{3\cdot2^{\frac32\cdot\frac13}}}(x-2\sqrt2)\Rightarrow y-2=\frac2{3\sqrt2}(x-2\sqrt2)\Rightarrow\\\\ y-2=\frac{\sqrt2}{3}(x-2\sqrt2)\Rightarrow y-2=\frac{\sqrt2}{3}x-\frac43\Rightarrow\\\\ \boxed{y=\frac{\sqrt2}{3}x-\frac23}$