Question

Equação da reta tangente ao grafico da função f(x) = (3x+2x²)/√x no ponto (1,f(1))

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x) = \frac{3x + 2x {}^{2} }{ \sqrt{x} }$

A questão quer saber qual a reta tangente a curva citada acima e que passo pelo ponto P(1, f(1)).

• Consolidação do ponto:

Primeiro vamos iniciar consolidando o ponto, ou seja, vamos encontrar o valor da ordenada (y), para isso basta substituir o valor de "x" na função:

$f(1) = \frac{3.1 + 2.1 {}^{2} }{ \sqrt{1} } \longrightarrow f(1) = \frac{3 + 2}{ \sqrt{1} } \\ f(1) = \frac{5}{1} \longrightarrow f(1) = 5$

Portanto temos que o ponto é P(1, 5).

• Derivada da função:

Como sabemos, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente, isto é, ela equivale ao "m" das retas, portanto vamos derivar a função:

$\frac{df(x)}{dx} = \frac{ \frac{d}{dx} (3x + 2x{}^{2} ) . \sqrt{x} - (3x + 2x {}^{2}). \frac{d}{dx} \sqrt{x} }{( \sqrt{x} ) {}^{2} } \\ \\ \frac{df(x)}{dx} = \frac{(3 + 4x). \sqrt{x} - (3x + 2x {}^{2}). \frac{1}{2 \sqrt{x} } }{x} \\ \\ \frac{df(x)}{dx} = \frac{3 \sqrt{x} + 4x. \sqrt{x} - \frac{3x}{2 \sqrt{x} } - \frac{2x {}^{2} }{2 \sqrt{x} } }{x} \\ \\ \boxed{ \frac{df(x)}{dx} = \frac{3 \sqrt{x} + 4 \sqrt{x {}^{3} } - \frac{3}{2} \sqrt{x} - \frac{1}{ \sqrt{x {}^{3} } } }{x} }$

Esse é o coeficiente angular. Agora vamos encontrar o valor numérico dele, para isso basta substituir o valor de "x":

$\frac{df(1)}{dx} = \frac{3 \sqrt{1} + 4 \sqrt{1 {}^{3}} - \frac{3}{2} \sqrt{1} - \frac{1}{ \sqrt{1 {}^{3} } } }{1} \\ \\ \frac{df(1)}{dx} = \frac{ \frac{9}{2} }{1} \longrightarrow \boxed{\frac{df(1) }{dx} = \frac{9}{2} }$

O coeficiente é equivalente a notação dy/dx, então digamos que:

$m = \frac{9}{2}$

• Montagem da equação:

Para montar a equação, basta usar o coeficiente angular e os valores do ponto P do começo:

$y-y_0 = m.(x-x_0) \\ y - 5 = \frac{9}{2} .(x - 1) \: \: \: \: \\ y - 5 = \frac{9x}{2} - \frac{9}{2} \: \: \: \: \: \: \: \\ y - 5 = \frac{9x - 9}{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \\ 2y - 10 = 9x - 9 \: \: \: \: \: \\ \boxed{9x - 2y + 1 = 0} \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado