Question

equação da reta normal à curva x^{2}-y^{2}=1 no ponto (2,\sqrt{3})?? alguém pode ajudar?

Answer 1

Hagamos una derivación implícita a la ecuación de la hipérbola $x^2-y^2=1$ para hallar la pendiente de la recta 

Derivación 
                            $2x-2yy'=0\\ \\ y'= \dfrac{x}{y}$

Entonces hallemos la pendiente en el punto $(2,\sqrt3)$:

                             $m=y'\\ \\ m=\dfrac{2}{\sqrt3}$

Por consiguiente la ecuación de la recta es
                $\boxed{y - \sqrt{3}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}(x-2)}$


La pendiente de la recta normal es
                                     $m^{\bot}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Por ende la ecuación de la recta normal es:
                    $\boxed{y - \sqrt{3}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}(x-2)}$

Answer 2

Derivando implicitamente a equação da curva em relação a x (para achar dy/dx, a inclinação da reta tangente à curva):

$\dfrac{d}{dx}x^{2}-\dfrac{d}{dx}y^{2}=\dfrac{d}{dx}1\\\\\\2x-2y\dfrac{dy}{dx}=0~~~(\div2)\\\\\\x-y\dfrac{dy}{dx}=0\\\\\\y\dfrac{dy}{dx}=x\\\\\\\boxed{\boxed{\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x}{y}}}$

No ponto em questão, temos que x = 2 e y = √3, então a inclinação da reta tangente ao gráfico da curva no ponto (2,√3) é:

$\boxed{\boxed{\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}}}$

Para acharmos a inclinação da reta normal (que forma 90º com a reta tangente), basta sabermos que o produto dos coeficientes angulares de retas ortogonais é -1:

$m_{normal}\cdot m_{tangente}=-1\\\\\\m_{normal}\cdot\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)=-1\\\\\\\boxed{\boxed{m_{normal}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}}$
_________________________

A equação reduzida da reta normal é da forma

$y=(m_{normal})x+b=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}x+b$

Como a reta passa pelo ponto (2,√3):

$\sqrt{3}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot2+b\\\\\\\sqrt{3}=-\sqrt{3}+b\\\\\boxed{\boxed{b=2\sqrt{3}}}$

Então, a equação da reta normal ao gráfico da curva em (2,√3) é

$\boxed{\boxed{y=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}x+2\sqrt{3}}}$

Multiplicando todos os membros por 2:

$2y=-\sqrt{3}x+4\sqrt{3}\\\\\boxed{\boxed{(\sqrt{3})x+2y=4\sqrt{3}}}$