Question

Equação da circuferencia :
A(5,4) B(-2,5) C(1,-4)
Resolver

Answer 1

A reta mediatriz de um segmento $\overline{AB}$ é a reta que reúne todos os pontos equidistantes do ponto $A$ e do ponto $B.$

Primeiro, vamos encontrar as equações das retas mediatrizes dos segmentos $\overline{AB}$ e$\overline{BC}$


$\bullet\;\;$ Encontrar a equação da reta mediatriz do segmento $\overline{AB}:$

A reta mediatriz passa pelo ponto médio $M$ do segmento $AB.$ As coordenadas do ponto médio são

$M(x_{_{M}};\,y_{_{M}})\;\;\Rightarrow\;\;\left\{\begin{array}{c} x_{_{M}}=\dfrac{x_{_{A}}+x_{_{B}}}{2}\\ \\ y_{_{M}}=\dfrac{y_{_{A}}+y_{_{B}}}{2} \end{array} \right.\\ \\ \\ \\ \left\{\begin{array}{c} x_{_{M}}=\dfrac{5-2}{2}\\ \\ y_{_{M}}=\dfrac{4+5}{2} \end{array} \right.\;\;\;\Rightarrow\;\; \left\{\begin{array}{c} x_{_{M}}=\dfrac{3}{2}\\ \\ y_{_{M}}=\dfrac{9}{2} \end{array} \right.$

O ponto médio é $M(\frac{3}{2};\,\frac{9}{2}).$


Agora, vamos achar a inclinação (coeficiente angular) do segmento $AB:$

$m_{_{AB}}=\dfrac{y_{_{B}}-y_{_{A}}}{x_{_{B}}-x_{_{A}}}\\ \\ \\ m_{_{AB}}=\dfrac{5-4}{-2-5}\\ \\ \\ m_{_{AB}}=\dfrac{1}{-7}\\ \\ \\ m_{_{AB}}=-\dfrac{1}{7}$


A reta mediatriz é perpendicular ao segmento $AB.$ Então, o coeficiente angular da reta mediatriz é o inverso negativo de $m_{_{AB}}:$

$-\dfrac{1}{m_{_{AB}}}=-\dfrac{1}{(-\frac{1}{7})}=7$


A equação da reta mediatriz de $\overline{AB}$ é a reta que passa pelo ponto médio $M(\frac{3}{2};\,\frac{9}{2}),$ com inclinação $7:$

$y-y_{_{M}}=7\,(x-x_{_{M}})\\ \\ y-\dfrac{9}{2}=7\left(x-\dfrac{3}{2} \right)\\ \\ \\ y-\dfrac{9}{2}=7x-\dfrac{21}{2}\\ \\ \\ y=7x-\dfrac{21}{2}+\dfrac{9}{2}\\ \\ \\ y=7x-\dfrac{12}{2}\\ \\ \\ y=7x-6$


$\bullet\;\;$ Encontrar a equação da reta mediatriz do segmento $\overline{BC}:$

De maneira análoga, vamos achar as coordenadas do ponto $N,$ médio do segmento $\overline{BC}:$

$N(x_{_{N}};\,y_{_{N}})\;\;\Rightarrow\;\;\left\{\begin{array}{c} x_{_{N}}=\dfrac{x_{_{B}}+x_{_{C}}}{2}\\ \\ y_{_{N}}=\dfrac{y_{_{B}}+y_{_{C}}}{2} \end{array} \right.\\ \\ \\ \\ \left\{\begin{array}{c} x_{_{N}}=\dfrac{-2+1}{2}\\ \\ y_{_{N}}=\dfrac{5-4}{2} \end{array} \right.\;\;\;\Rightarrow\;\; \left\{\begin{array}{c} x_{_{N}}=-\dfrac{1}{2}\\ \\ y_{_{N}}=\dfrac{1}{2} \end{array} \right.$

O ponto médio é $N(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}).$
 

Achando o coeficiente angular do segmento $BC:$

$m_{_{BC}}=\dfrac{y_{_{C}}-y_{_{B}}}{x_{_{C}}-x_{_{B}}}\\ \\ \\ m_{_{BC}}=\dfrac{-4-5}{1-(-2)}\\ \\ \\ m_{_{BC}}=\dfrac{-9}{1+2}\\ \\ \\ m_{_{BC}}=\dfrac{-9}{3}\\ \\ \\ m_{_{BC}}=-3$


O coeficiente angular da reta mediatriz é o inverso negativo de $m_{_{BC}}:$

$-\dfrac{1}{m_{_{BC}}}=-\dfrac{1}{-3}=\dfrac{1}{3}$


A equação da reta mediatriz do segmento $\overline{BC}$ é a equação da reta que passa pelo ponto $N(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ com inclinação de $\frac{1}{3}:$

$y-y_{_{N}}=\dfrac{1}{3}\,(x-x_{_{N}})\\ \\ \\ y-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\\ \\ \\ y-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}\,x+\dfrac{1}{6}\\ \\ \\ y=\dfrac{1}{3}\,x+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{2}\\ \\ \\ y=\dfrac{1}{3}\,x+\dfrac{1}{6}+\dfrac{3}{6}\\ \\ \\ y=\dfrac{1}{3}\,x+\dfrac{4}{6}\\ \\ \\ y=\dfrac{1}{3}\,x+\dfrac{2}{3}$


$\bullet\;\;$ O centro da circunferência é o ponto de interseção das retas mediatrizes. Igualando as duas equações temos:

$7x-6=\dfrac{1}{3}\,x+\dfrac{2}{3}\\ \\ \\ 7x-\dfrac{1}{3}\,x=\dfrac{2}{3}+6$


Multiplicando os dois lados por $3,$

$21x-x=2+18\\ \\ 20x=20\\ \\ x=\dfrac{20}{20}\\ \\ x=1$


$y=7x-6\\ \\ y=7\cdot 1-6\\ \\ y=7-6\\ \\ y=1$


O centro é o ponto $P(1;\,1).$



$\bullet\;\;$ O raio da circunferência é a distância do centro até qualquer um dos pontos $A,$ $B,$ ou $C:$

$r=d_{_{PA}}\\ \\ r=\sqrt{(x_{_{A}}-x_{_{P}})^{2}+(y_{_{A}}-y_{_{P}})^2}\\ \\ r=\sqrt{(5-1)^{2}+(4-1)^2}\\ \\ r=\sqrt{(4)^{2}+(3)^2}\\ \\ r=\sqrt{16+9}\\ \\ r=\sqrt{25}\\ \\ r=5\text{ u.c.}$


$\bullet\;\;$ A equação reduzida da circunferência, cujo centro é o ponto $P,$ e o raio é $r$ é dada por

$(x-x_{_{P}})^{2}+(y-y_{_{P}})^{2}=r^{2}\\ \\ (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=5^{2}\\ \\ \boxed{ \begin{array}{c} (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=25 \end{array} }$