Question

Equação Biquadrada
B) 2x4- 7x²-4=0

Answer 1

Olá, Nathalia

As equações do quarto grau (também chamadas de biquadradas) podem ser reduzidas à equações do segundo grau através de um artifício.

Primeiro analise a fórmula: $2 x^{4} - 7 x^{2} - 4 = 0$
O artifício é o seguinte: criar uma nova incógnita pra substituir uma antiga.
Okay, como fazer isso? Simples, diga que y = x²

Se y = x² , vamos substituir na equação?
Ela vai ficar assim:
 $2 y^{2} -7y - 4 =0$
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Vamos resolver, de boa, essa equação do segundo grau através da Fórmula de Bhaskara (nome maneiro esse, sonoro):

-----1ª parte, calcular o discriminante ( Δ )
Δ = b² -4ac
Δ = 49 -4 * 2 * (-4)
Δ = 49 -8 (-4)
Δ = 49 + 32
Δ = 81

----2ª parte, Fórmula de Bhaskara propriamente dita
 $y' = \frac{-b + \sqrt{delta} }{2a} = \frac{-(-7) + \sqrt{81} }{4} = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4}= 4 \\ y" = \frac{-b - \sqrt{delta} }{2a} = \frac{-(-7) - \sqrt{81} }{4} = \frac{7 - 9}{4} = \frac{-2}{4}= -0,5$

Agora eu já sei que as raízes de y são 4 e -0,5.
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Beleza.... mas eu não quero achar y, eu quero achar o x!
Okay, okay. Vamos lá então.

-----Para y = 4

Lembra que eu disse que y = x² ?
Então, vamos fazer a substituição.
 x² = y
 x² = 4
 x = ±√4
x = ±2  (x' = 2 // x" = -2)

----Para y = -0,5
 x² = y
 x² = -0,5
 x = ±√ -0,5
Opa! Para por aí: eu não posso encontrar raiz real de números negativos! [Eu só posso fazer isso com números imaginários, o que nós só veremos no 3º ano do Ensino Médio]. Então, para y = -0,5 não há solução real.

Portanto, temos como soluções reais desta equação biquadrada que x pode ser igual a 2 e a -2.
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Espero ter ajudado.
Bons estudos! :)

Answer 2

Olá!!

$2x^4-7x^2-4=0\\\\2x^4-8x^2+x^2-4=0\\\\2x^2(x^2-4)+1(x^2-4)=0\\\\(x^2-4)[2x^2+1]=0\\\\(x+2)(x-2)(2x^2+1)=0$
 
 Fator I:

$x+2=0\\\boxed{x=-2}$


 Fator II:

$x-2=0\\\boxed{x=2}$
 
 
 Fator III:

$2x^2+1=0\\2x^2=-1\\x^2=\frac{-1}{2}\\x=\sqrt{\frac{-1}{2}}$
 
 
 Uma vez que, não existe raiz quadrada de números negativos, nos reais, temos que: $\boxed{\boxed{x=\pm2}}$