Question

(EPCAr - 2018) Considere quatro números naturais distintos tais que, quando adicionados três a três, resultem em: 152, 163, 175 e 185. Sobre esses quatro números é correto afirmar que

a) todos são números menores que 70.
b) nenhum é múltiplo de 10.
c) apenas um é número primo.
d) algum é quadrado perfeito.

Answer 1

⠀⠀Sobre esses quatro números, é correto afirmar que apenas um é primo, logo a alternativa c) responde à questão.

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⠀⠀Devemos considerar quatro números naturais distintos tais que adicionados três a três resultem em: 152, 163, 175 e 185. Para colocar em prática o que o enunciado nos diz, vamos considerar w, x, y e z esses tais números naturais distintos. Assim, quando adicionados três a três, isto é, quando é formado três parcelas distintas com esses números, teremos:

• w + x + y = 152
• x + y + z = 163
• y + z + w = 175
• z + w + x = 185

⠀⠀E com isso precisamos determinar o valor numérico de cada variável para encontrar a alternativa correta. Note que se somarmos as quatro equações membro a membro, encontraremos a soma w + x + y + z:

⠀$\begin{array}{l}\implies~~~~\sf(w+x+y)+(x+y+z)+(y+z+w)+(z+w+x)=152+163+175+185\\\\\\\implies~~~~\sf3w+3x+3y+3z=675\\\\\\\sf\implies~~~~\dfrac{3w+3x+3y+3z}{3}=\dfrac{675}{3}\\\\\\\sf\implies~~~~w+x+y+z=225\end{array}$⠀

⠀⠀Logo, podemos substituir três parcelas desta soma pelos valores obtidos nas equações iniciais, de modo a obter:

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$\begin{array}{l}\sf w+(x+y+z)=225~~\Rightarrow~~w=225-(x+y+z)~~\Rightarrow~~w=225-163=62\\\\\sf x+(y+z+w)=225~~\Rightarrow~~x=225-(y+z+w)~~\Rightarrow~~x=225-175=50\\\\\sf y+(z+w+x)=225~~\Rightarrow~~y=225-(z+w+x)~~\Rightarrow~~y=225-185=40\\\\\sf z+(w+x+y)=225~~\Rightarrow~~z=225-(w+x+y)~~\Rightarrow~~z=225-152=73\end{array}$

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⠀⠀Portanto, w = 62, x = 50, y = 40 e z = 73. Agora basta avaliar as alternativas e encontrar a correta:

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⇒ a) ''todos são números menores que 70.''

• ERRADO. Apenas três dos quatro números são menores que 70 (no caso os n.ºˢ 40, 50 e 62).

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⇒ b) ''nenhum é múltiplo de 10.''

• ERRADO. Temos dois múltiplos de 10 (no caso os n.ºˢ 40 e 50).

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⇒ c) ''apenas um é número primo''

• CORRETO. Um número primo é todo número (natural) que pode ser divido por um ou por ele mesmo. Sendo assim, temos de fato só um número primo dentre os quatro (no caso o n.º 73).

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⇒ d) ''algum é quadrado perfeito.''

• ERRADO. Um número quadrado perfeito é todo número que pode ser desmembrado num produto de dois números iguais. Por exemplo, 36 é um quadrado perfeito pois 36 = 6² (6 · 6). Sendo assim, não temos dentre os quatro números algum que seja quadrado perfeito.

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⠀⠀Portanto, concluímos que a alternativa c) é a correta.

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$\!\!\!\!\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}}$

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         $\large\boldsymbol{O\beta r\iota g\alpha\delta\theta~\rho el\alpha~q\upsilon es\tau\alpha\theta~e~\upsilon m~cor\delta\iota\alpha l~\alpha \beta r\alpha c_{\!\!\!,}\,\theta!\ \heartsuit\heartsuit}$