Question

(EPCAR-2013) Seja ABCD um paralelogramo cujos lados AB e BC medem, respectivamente 5 e √10. Prolongando o lado AB até o ponto P, obtém-se o triângulo APD, cujo ângulo APD é congruente ao ângulo ACB, conforme a figura: Então, a medida AP é: 0,2 (B) 2 (C)
(2√10)/5 (D) √10/5 (E) 1

Answer 1

Resposta: alternativa (B) 2

Explicação passo-a-passo:

Como AC é diagonal de ABCD, os triângulos CAD e CBA serão iguais, logo:

os ângulos

ABC = ADC chamaremos de α

CAB = ACD chamaremos de β

o terceiro ângulo de ambos os triângulos também tem de serem iguais, logo os ângulos:

DAC = ACB  chamaremos de γ

Sendo assim, os lados AD e BC são iguais, ambos medem $\sqrt{10}$

Aplicando a semelhança entre triângulos

AP/AD = BC/AB

AP/$\sqrt{10}$ = $\sqrt{10$/5

AP = 10/5

AP = 2

obs: para melhor entendimento, recomendo que faça as anotações no desenho do exercício.

Answer 2

A medida de AP é igual a 2.

Lei dos Senos

Na figura em anexo, podemos ver o paralelogramo descrito no enunciado.

Como é um paralelogramo, temos que BC = AD, logo AD = √10. Além disso, temos que os ângulos do triângulo APD são iguais aos ângulos do triângulo ABC.

Sendo assim, pela lei dos senos, no triângulo ABC temos:

5÷senC = √10÷senA

senA÷senC = √10÷5

Já no triângulo APD, temos:

AP÷senD = √10÷senP

senD÷senP = AP÷√10

Como o ângulo P é igual ao ângulo C e o ângulo D é igual ao ângulo A, seus senos são correspondentes, portanto:

senD÷senP = senA÷senC

Logo:

senD÷senP = AP÷√10

senA÷senC = AP÷√10

√10÷5 = x÷√10

5AP = √10x√10

5AP = 10

AP = 2

Portanto, a medida de AP é igual a 2.

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