Question

(EPCAr - 1999 - Adaptada) Em um triângulo, um dos lados mede o dobro do outro, e o ângulo entre eles é de 60°. Se o terceiro lado mede 6 m, o perímetro do triângulo, em metros, é

a) 12
b) 8√2
c) 6 + 4√2
d) 6 + 6√3

Answer 1

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ﾠﾠO perímetro do triângulo, em metros, é dado na alternativa d) 6 + 6√3.

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ﾠﾠPrimeiramente vamos considerar a, b e c os três lados de um triângulo. Pelo enunciado temos que o lado ''a'' mede alguma coisa (vamos chamar essa medida de ''L'') e o lado ''b'' mede o dobro do lado ''a'', ou seja, a = L e b = 2L, sendo que o ângulo formado entre eles é de 60º (vamos chamar esse ângulo de θ). Já o terceiro lado mede 6 m, ou seja, c = 6. Com base nisso a questão quer que calculemos o perímetro desse triângulo, que nada mais é a soma das medidas desses três lados.

ﾠﾠPara facilitar o entendimento preparei uma imagem que representa esse triângulo (veja em anexo). Perceba que podemos aplicar a Lei dos Cossenos, tendo em vista que podemos usar estes três lados e o ângulo entre ''a'' e ''c''. Desta maneira, sabemos que por essa lei c² = a² + b² – 2ab · cos(θ), logo basta fazermos as substituições nesta equação (lembrando que cos(60º) = 1/2):

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$\begin{array}{l}\implies~~~~\sf c^2=a^2+b^2-2ab\cdot cos(\theta)\\\\\\\sf\implies~~~~6^2=L^2+(2L)^2-2(L)(2L)\cdot cos(60^\circ)\\\\\\\sf\implies~~~~36=L^2+4L^2-4L^2\cdot\dfrac{1}{2}\\\\\\\sf\implies~~~~36=5L^2-2L^2\\\\\\\sf\implies~~~~36=3L^2\\\\\\\sf\implies~~~~L^2=\dfrac{36}{3}\\\\\\\sf\implies~~~~L^2=12\\\\\\\sf\implies~~~~L=\sqrt{12}\\\\\\\sf\implies~~~~L=\sqrt{2\cdot2\cdot3}\\\\\\\sf\implies~~~~L=\sqrt{2^2}\cdot\sqrt{3}\\\\\\\implies~~~~\sf L=2\sqrt{3}\end{array}$

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ﾠﾠPortanto, se a = L = 2√3 m, temos que b = 2L = 4√3 m.

ﾠﾠPor fim, como já temos o valor de todos os lados vamos calcular o tão desejado perímetro do triângulo:

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$\begin{array}{l}\implies~~~~\sf P_\triangle=a+b+c\\\\\\\sf\implies~~~~P_\triangle=2\sqrt{3}+4\sqrt{3}+6\\\\\\\implies~~~~\!\boxed{\sf P_\triangle=6\sqrt{3}+6}\end{array}$

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ﾠﾠConclui-se, então, que a alternativa d) é a correta.

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                            $\large\boldsymbol{\mathsf{-x-}~~Q\upsilon es\tau\alpha\theta~f\iota\eta\alpha l\iota z\alpha\delta\alpha~~\mathsf{-x-}}$

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$\!\!\!\!\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}}$

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       $\large\boldsymbol{O\beta r\iota g\alpha\delta\theta~\rho el\alpha~q\upsilon es\tau\alpha\theta~e~\upsilon m~cor\delta\iota\alpha l~\alpha \beta r\alpha c_{\!\!\!,}\,\theta!\ \heartsuit\heartsuit}$