Question

EP. 1 Considere um paralelogramo ABCD. Sabendo
que a medida de sua área pode ser calculada
por AP = ||−→AB ×
−→AD||, mostre que AP pode também
ser calculada por ||−→AC ×
−→AD||. Sugestão: Considere
−→AC =
−→AB +
−→BC e use a propriedade distributiva do
produto vetorial relativa a adição de vetores.

Answer 1

Considere o paralelogramo abaixo.

Queremos provar que |AB x AD| = |AC x AD|.

Como AC = AB + BC, então temos que:

|AC x AD| = |(AB + BC) x AD|

Aplicando a distributiva:

|AC x AD| = |AB x AD + BC x AD|

Perceba, na figura abaixo, e pelas propriedades do paralelogramo, que BC = AD.

Então, podemos dizer que:

|AC x AD| = |AB x AD + BC x BC|

Existe uma propriedade de produto vetorial que diz que o produto vetorial de um vetor por ele mesmo é igual a 0.

Sendo assim:

|AC x AD| = |AB x AD + 0|

Portanto,

|AC x AD| = |AB x AD|

como queríamos demonstrar.