Question

Enuncie e prove a unicidade de um elemento neutro de um grupo (G,*).

Answer 1

Se (G,*) é um grupo então seu elemento neutro b é único.

Demonstração:

Suponha por absurdo que existam 2 elementos neutros em (G,*) denotando por b e b´ os mesmos vamos demonstrar que b´=b.

Com efeito,Se b é elemento neutro de (G,*) então b*b´=b´(1)

Se b´ é elemento neutro de (G,*) então b*b´=b (2)

De (1): b*b´=b´

De (2): b*b´=b

Como b*b´=b*b´ conclui-se que b´= b o que é um absurdo pois contraria nossa hipótese. c.q.d

Answer 2

Em todo grupo (G,*) seu elemento neutro é único.

prova: De fato, supondo que e e  e' são os elementos neutros de (G,*).

sendo e o elemento neutro de (G,*) decorre que e*e'=e'

sendo e' o elemento neutro de (G,*) decorre que e*e'=e

Como e*e'=e*e'

é imediato que e'=e mostrando a unicidade .