Question

Enunciados (1)=4, X(2)=7, S (n) = 5S(n - 2) para n> 3 formula S (n) =p(r1)n1+q(r2)n-1 r1 e r2:t2-at- b=0 p+q =S(1) p(r1) q(r2) = S (2)

Answer 1

Seja a sequência S(n) dada pela recursão

$S(n)=5\cdot S(n-2)$

Com os valores iniciais

$S(1)=4, \hspace{0.4cm} S(2)=7$

Vamos supor que uma fórmula geral para S seja

$S(n)=r^n$

Substituindo nossa suposição na fórmula de recursão teremos

$r^n=5r^{n-2}$

$r^n=5\dfrac{r^n}{r^2}$

$r^2=5$

$r=\pm \sqrt{5}$

Temos duas fórmulas possíveis, mas, como nossa recursão é homogênea, então teremos que, se $P(n)$ e $Q(n)$ são soluções, então, para todo p e q real

$S(n)=p\cdot P(n)+q\cdot Q(n)$

Também é solução. A prova está que, como P e Q satisfazem a recursão, então

$S(n)=5p\cdot P(n-2)+5q\cdot Q(n-2)$

$S(n)=5(p\cdot P(n-2)+q\cdot Q(n-2))=5\cdot S(n-2)$

Assim, nossa solução é do tipo

$S(n)=p\sqrt{5}^n+q\left(-\sqrt{5}\right)^n$

Obteremos p e q pois sabemos S(1) e S(2), assim,

$S(1)=p\sqrt{5}-q\sqrt{5}=4$

$S(2)=5p+5q=7$

$p-q=\dfrac{4}{\sqrt{5}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$

$p+q=\dfrac{7}{5}$

$2p=(p+q)+(p-q)=\dfrac{7}{5}+\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$

$p=\dfrac{1}{10}\cdot\left(7+4\sqrt{5}\right)$

$2q=(p+q)-(p-q)=\dfrac{7}{5}-\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$

[ted]q=$p=\dfrac{1}{10}\cdot\left(7-4\sqrt{5}\right)$

Assim, nossa fórmula geral para S é

$S(n)=(7+4\sqrt{5})\dfrac{\sqrt{5}^n}{10}+(7-4\sqrt{5})\dfrac{\left(-\sqrt{5}\right)^n}{10}$