Enunciado:
O conceito de vetor relaciona-se ao de grandeza quando esta considera a ideia de módulo, sentido e direção. Por essa razão, apresenta-se como fundamental para os engenheiros, por exemplo, na Engenharia Civil, que entendam grandezas como força, torque e velocidade, ou seja, são grandezas vetoriais presentes no cotidiano da futura profissão. Ademais, cálculos envolvendo vetores são utilizados em situações como dimensionamento de vigas e treliças, elevadores, guindastes, carregamentos, reações de apoio, nas quais existem forças envolvidas. Na Engenharia Elétrica, o vetor é utilizado para determinar a existência de campo elétrico. Ao mover uma carga elétrica em um campo elétrico ela fica sujeita a diferentes intensidades de força elétrica. Já na Engenharia Mecânica, os conceitos básicos utilizados são espaço, tempo, massa e força que, sendo força uma grandeza vetorial, necessita, consequentemente, do conceito de vetor.
O engenheiro Nonato registrou as informações a seguir:
Conforme anexo 1
III. E, F, G e H são vértices de um paralelepípedo representado a seguir: Conforme anexo 2 ( pergunta está no anexo 2)
Soluções para a tarefa
As soluções para cada item são dadas a seguir:
a) Leia abaixo.
b) u = (45, 7, 20)
c) O volume do paralelepípedo é 215.
Certamente, os vetores tem muitas utilidades em vários campos. Para ser objetivo, vamos aos itens:
a) Nesta questão, faz-se necessário saber os ângulos entre os vetores XY e XA, bem como entre XZ e XA. A informação do enunciado não diz, por exemplo, se o triângulo é retângulo e, dessa forma, os ângulos são necessários.
Como 3*YA = 2*AZ, então AZ/YA = 3/2. Chamando o segmento unitário de k, temos YA = 2k e AZ = 3k.
Usando que α é o ângulo entre XY e XA e β entre XZ e XA, tem-se que pela lei dos cossenos:
(3k)² = XA² + XZ² - 2XA*XZ * cos α
(2k)² = XA² + XY² - 2XA*XY * cos β
Você substituindo k de uma equação na outra, basta isolar XA na expressão. De qualquer forma, observe que α e β necessariamente aparecerão nessa expressão.
b) Vamos primeiramente calcular os vetores BC e CD:
B = (3, 5, -7), C = (12, 6, 9) e D = (-6, 3, 11)
BC = (12 - 3, 6 - 5, 9 - (-7)) = (9, 1, 16)
CD = (-6 - 12, 3 - 6, 11 - 9) = (-18, -3, 2)
Assim,
u = (9, 1, 16) - 2(-18, -3, 2) = (9, 1, 16) - (-36, -6, 4) = (45, 7, 20)
c) O produto misto dos vetores pode ser feito em termos do cálculo do determinante da matriz 3 x 3 onde as linhas (ou colunas) são as coordenadas dos vetores EF, EG e EH.
Vamos calcular primeiramente tais vetores:
EF = (5 - 5, 9 - 2, 0 - 1) = (0, 7, -1)
EG = (0 - 5, 2 - 2, 1 - 1) = (-5, 0, 0)
EH = (5 - 5, 3 - 2, 7 - 1) = (0, 1, 6)
Volume:
|0 7 -1 |
det |-5 0 0 | = 215 u.v.
|0 1 6 |
O volume do paralelepípedo é 215.
Até mais!
Resposta:
Explicação passo a passo:
