Question

Enunciado:

Área sob uma Curva

Os cálculos relacionados a áreas de figuras planas regulares são de certa forma realizados facilmente, devido às fórmulas matemáticas existentes. No caso de figuras como o triângulo, quadrado, retângulo, trapézios, losangos, paralelogramo, entre outras, basta relacionarmos as fórmulas à figura e realizarmos os cálculos necessários. Algumas situações exigem ferramentas auxiliares na obtenção de áreas, como exemplo as regiões existentes sob uma curva. Para tais situações, utilizamos os cálculos envolvendo as noções de integrações desenvolvidas por Isaac Newton e Leibniz.

Podemos representar algebricamente uma curva no plano através de uma lei de formação chamada função. A integral de uma função foi criada no intuito de determinar áreas sob uma curva no plano cartesiano. Os cálculos envolvendo integrais possuem diversas aplicações na Matemática e na Física.


Fonte: SILVA, Marcos Noé Pedro da. Área sob uma Curva. Brasil Escola. Disponível em . Acesso em: 5 fev. 2019.


O engenheiro Nonato está elaborando um projeto para construir uma piscina. Sabe-se que o local onde a piscina será construída é a região limitada pelos gráficos de f e g, e pelas retas x = ‒ 2 e x = 2, onde f(x) = ‒ x + 5 e g(x) = x² ‒ 2, com unidade de medida graduada em metros.

a.) Utilizando o Plano Cartesiano, faça o gráfico de cada função e apresente a região da piscina conforme os dados apresentados. (vale 1,0 ponto)



b.) Trabalhando com cálculo de Integral Definida, determine a área da região ocupada pela piscina. (vale 1,0 ponto)



c.) Se a profundidade da piscina mede 1,5 m, apresente a quantidade necessária de água, em litros, para a mesma ser preenchida. (vale 1,0 ponto)

Answer 1

a) A piscina será a região mostrada na figura dentro de todas as curvas.

b) Como uma parte da piscina está abaixo do eixo x, ao calcular a integral da região, esta parte será negativa, dando um resultado errado. Logo, vamos deslocar a região para cima do eixo x somando 2 nas duas funções, logo: f(x) = -x + 7 e g(x) = x². A integral será:

$A=\int\limits^{2}_{-2} \int\limits^{-x+7}_{x^2} \, dxdy$

Resolvendo:

$A=\int\limits^{2}_{-2} -x+7-x^2 \, dx = 2\int\limits^{2}_{0} -x+7-x^2\\A=2\left(-\dfrac{x^2}{2}+7x-\dfrac{x^3}{3}\right)\\\\A=2\left(-\dfrac{2^2}{2}+7(2)-\dfrac{2^3}{3}\right)\\A=2\left(-2+14-\dfrac{8}{3}\right)\\A = \dfrac{56}{3}\ m^2$

c) O volume da piscina será:

V = 56/3 * 1,5

V = 28 m³

Como cada m³ vale 1000 litros, temos que a piscina precisa de 28.000 litros para ser preenchida.