Entre todos os retângulos com perímetro de 24 m, como os exemplificados a seguir, qual tem a maior área??
Soluções para a tarefa
Vamos por partes.
Perimetro do retângulo e do quadrado é a soma de todos os lados
Área é a multiplicação da base pela altura .
Desenho 1 :
Perímetro ⇒ 1 + 1 + 11 + 11 = 24 m
Área ⇒ b x h ⇒ 1 x 11 = 11 m²
Desenho 2
Perímetro ⇒ 6 + 6 + 6 + 6 = 24 m
Àrea ⇒ b x h = 6 x 6 = 36 m²
Resp: A área maior é do quadrado ( desenho 2 ) com 36 m²
Obs : Esse resultado são os cálculos dos exemplos acima
================================================================
Para efeito universal usaremos a única medida universal dada. O perímetro do retângulo ( qualquer que seja ) . Neste caso o perímetro é de 24 m.
Assim temos :
P = 2C + 2L como P = 24 ..então
24 = 2C + 2L
..simplificando ..mdc(24,2) = 2
12 = C + L onde resulta 12 – L = C …assim temos a nossa 1ª equação
A área será dada por:
A = C . L
Substituindo:
A = (12 – L) . L
A = 12L - L ²
…temos uma função do 2º grau ..com a < 0 ..logo uma parábola com a concavidade virada para baixo.
Podemos resolver a função derivando-a:
A’ = 12 – 2.L
…igualando a zero resulta em..
0 = 12 – 2L
-12 = -2L
6 = L …medida da largura máxima (sabemos que é um máximo pela concavidade da parábola)
..mas para comprovar se é um máximo ou um mínimo ..vamos calcular a 2ª derivada
A’ = 12 – 2.L
A’’ = - 2 …como a 2ª derivada é MENOR do que zero ..então L = 6 é um ponto MÁXIMO
Substituindo na 1ª equação (a do perímetro) teremos:
P = 2C + 2L
24 = 2C + 2.(6)
24 = 2C + 12
24-12 = 2C
6 = C
..E pronto está demonstrado que para um perímetro de 24 m a área máxima é obtida quando C = L …neste caso C = 6 e L = 6 …ou seja ..quando o retângulo for um quadrado.
Resposta:
Área do quadrado : Δ²= l²
6²= 36m²
Área do retângulo : Δ= b.h = 11.1= 11 metros
Todo quadrado é um retângulo.