Question

Entre os 10 condôminos de um prédio, 6 são homens e 4 são mulheres. Serão escolhidos para o conselho fiscal 5 deles, com a condição de que pelo menos 2 sejam do mesmo sexo. Quantas são as possíveis composições para esse conselho?

Exercício de Análise Combinatória.
Respostas com cálculo, por favor.

a) 252 b) 240 c) 180 d) 120 e) 60

Answer 1

Olá, Daniel.

Em um grupo de 6 homens e 4 mulheres, qualquer grupo de 5 pessoas escolhidas entre eles terá, pelo menos, duas pessoas do mesmo sexo.
Veja por quê: 5 homens; 4 homens e 1 mulher; 3 homens e 2 mulheres; 2 homens e 3 mulheres; 1 homem e 4 mulheres.
Então, podemos somar a quantidade de homens e mulheres (6 + 4 = 10), e, deste grupo, escolher um grupo de 5 pessoas quaisquer para formar o conselho.
O número de possibilidades para formar o conselho é, portanto:

$C_{10,5}=\binom{10}{5}=\frac{10!}{5!5!}=\frac{10.9.8.7.6.5!}{5!5.4.3.2.1}=3.2.7.6=\boxed{252\text{ possibilidades}}$