Entre dois números racionais existe sempre outro numero racional, Por que ?
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Resposta:
Explicação passo-a-passo:
Entre dois números racionais existem infinitos números racionais e também infinitos irracionais. É fácil exibir um número racional entre dois racionais arbitrários x e y. Basta tomar o número (x+y)/2.
O conjunto dos números racionais é infinito e enumerável, isto é, pode ser colocado em correspondência biunívoca com o conjunto dos números naturais. Esse seria o "menor" infinito dentre os tipos de infinitos que existem.
A prova da infinitude do conjunto dos números racionais é simples, bastando observar que esse conjunto contém o conjunto dos números naturais. O fato de que entre dois racionais existe um terceiro racional implica na infinitude do conjunto dos racionais que estão entre dois racionais quaisquer. O que pode surpreender os leigos é o fato de que a quantidade de números racionais que estão entre dois números (por exemplo: 0 e 1) é igual à quantidade total de números racionais, sendo verdadeira também uma afirmação análoga com relação aos números reais - existem tantos números reais no intervalo (0,1) quanto na reta inteira.
Um conjunto infinito "maior" que o conjunto dos números racionais é o conjunto dos números irracionais. Conjuntos dessa natureza, os quais são infinitos e não podem ser postos em correspondência biunívoca com o conjunto dos números naturais, são os denominados conjuntos não-enumeráveis.