Question

Entre a fração geratriz de cada dízima periódica a seguir: a) 0,777... b) 2,888... c) 0,3636... d) 5,12333... e) 0,5222... f) 0,221221

Answer 1

Olá Rita, 
 Para determinar a fração geratriz de uma fração, existe uma regra a se segui.
 No caso dela ser simples, isto é após a vírgula, existe um número que se repete , do tipo 0,77777.. por exemplo, basta que você pegue o algarismo que se repete, e conte o total de número que ele possui, e então divida por 9, sendo que terá que colocar um 9 para cada algarismo que esse número que se repete possui.
Exemplo:

0,777...  -> 7 é o algarismo que se repete, contêm apenas um número, logo sua fração será $\frac{7}{9}$

0,3636...  -> 36 é o algarismo que se repete, contêm 2 números, logo sua fração será $\frac{36}{99}$

0,221221... -> 221 é o algarismo que se repete, contêm 3 números, logo sua fração será $\frac{221}{999}$

2,888...  -> neste caso usaremos a mesma regra, só que teremos que somar a parte inteira do número, que neste caso é 2, vejamos:

$\frac{8}{9} + 2 = \frac{26}{9}$

   Existem ainda, as dízimas compostas, que após a vírgula, nem todos os números se repetem, assim teremos outra forma de calcular. 
   Primeiro achamos o número que se repete, e adicionamos um 9 ao denominador de acordo com a quantidade de algarismo, como fizemos acima, só que agora, para cada número que não se repete após a vírgula, teremos que colocar um 0. 
  No numerador, faremos o seguinte, primeiro pegaremos os números que não se repetem, e juntaremos com o número que se repete, depois diminuiremos pelos números que não se repetem, parece confuso, mas no exemplo ficara mais fácil de entende.

Exemplo: 

5,1233... -> 512 é o número que não se repete, 3 é o número que se repete, seguindo a regra acima, ficará $\frac{(5123-512)}{900}$ , note que dividimos por 900, pois 3, que é o número que se repete, contem apenas um algarismo, por isso adicionamos apenas um 9, e existem dois números depois da vírgula que não se repetem, por isso adicionamos dois 0.

0,5222... ->  $\frac{52-5}{90} = \frac{47}{90}$

Espero que não tenha ficado confuso, qualquer dúvida estou a disposição.