Question

Entender o comportamento de funções pode auxiliar em temas como o aumento de uma produção, a diminuição de infestações em um plantio, por exemplo, entre outras aplicações.


n(x)= ___20x²___
(x²+5x+2)

O que se espera de produção para treinamentos longos? Nesse caso, supõe-se que um período possa tender ao infinito. Imaginando que seja possível esse período de treinamento, esse limite permite-nos observar qual seria a produção máxima de um funcionário segundo essa função.

Answer 1

Resposta:

Nesta situação, deseja-se calcular:

lim/(x-x) n(x)=lim 〖20x〗^2/(x^2+5x+2)

Para tal, pode-se aplicar as propriedades de limite, obtendo:

lim/(x-x) n(x)=lim 〖20x〗^2/(x^2+5x+2) =  

lim/(x-x) x=〖20x〗^2/(1+5/x+□(2/x^2 ))= lim/(x-x)  20/(1+5/x+2/x^(2 ) )= 20

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

para x tendendo ao ifinito, o valor da produção $lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\frac{20x^2}{x^2+5x+2}$ se estabiliza em $f(x\rightarrow \infty)= 20$.

Podemos encontrar este resultado pelos seguintes motivos:

Toda vez que se toma o limite de uma função no ponto $a$, este limite existirá quando você puder encontrar pontos vizinho ao ponto $a$ de raio $\epsilon$ tão pequeno quanto se possa querer (geralmente fazemos $\epsilon$ tender a zero).

Para a função

$lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\frac{20x^2}{x^2+5x+2}$ nós podemos fatorar no numerador e no denominador a potencia de $x^2$ e obter a mesma função escrita como

$lim_{x\rightarrow\infty}f(x)\\\\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\frac{x^2\cdot(20)}{x^2\cdot(1+\frac{5}{x}+\frac{2}{x^2})}\\\\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\dfrac{x^2}{x^2}\cdot\frac{20}{1+\frac{5}{x}+\frac{2}{x^2}}$

Observe agora que se jogar-mos valores grandes de x (por exemplo x=1000), veremos que $\frac{5}{x}\,\,e\,\,frac{2}{x^2}$ contribuem cada vez menos com o resultado final e, no limite de x tendendo ao infinito, resultarão em zero. e a dvisão $dfrac{x^2}{x^2}$ resulta em 1 para qualquer valor de x.

Assim, o limite $lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\frac{20x^2}{x^2+5x+2}$ fica $\dfrac{\infty^2}{\infty^2}\cdot\frac{20}{1+\frac{5}{\infty}+\frac{2}{\infty^2}}=1\cdot\frac{20}{1+0+0}=20$