Question

Ensino superior em calculo 3
calcule (x^2z +y^2z)ds, onde S é a parte do plano z=4+x+y que está dentro do cilindro x^2+y^2=4

Answer 1

∫ ∫ (x²+y²)zds 
σ                       

Seja "z = g(x,y)

Temos que:

z = 4+x+y


$\\ ds = \sqrt{ (\frac{dz}{dx})^2 + (\frac{dz}{dy})^2+1 } .dA$

Onde,

dz/dx = 1

e

dz/dy = 1
-------------

Logo,


$\\ ds = \sqrt{1^2+1^2+1} dA \\ \\ ds = \sqrt{3} .dA$
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Agora devemos calcular a integral de superfície sobre a região.

ou seja, o seu domínio.

Onde "R" é:

X²+Y² = 4


Reescrevendo em polar, fica:


$\\ x = rCos( \alpha ) \\ \\ y = rSen( \alpha ) \\ \\ z = (4+rCos( \alpha )+rSen( \alpha ))$

Então,


$\\ 0 \leq r \leq 2 \\ \\ 0 \leq \alpha \leq 2 \pi$

Desse modo segui:

∫∫(x²+y²)zds = ∫∫(x²+y²)z.√3 . dA

√3.∫∫ (x²+y²)zdA = √3.∫∫ r².(4+rSenα+rCosα).rdrdα

√3.∫∫ (x²+y²)zdA = √3.∫∫ (4r³ +r⁴Senα +r⁴Cosα)drdα


Sobre a região circular:


integrando em relação a "R" teremos:

$= \sqrt{3} \int\limits^ \frac{2 \pi }{} _0 {(r^4+ \frac{r^5Sen \alpha }{5}+ \frac{r^5Cos \alpha }{5})|(0,2) } \, d \alpha$

$= \sqrt{3} \int\limits^ \frac{2 \pi }{} _0 {(16+ \frac{32Sen \alpha }{5}+ \frac{32Cos \alpha }{5}) } \, d \alpha$

Integrando em relação a "alfa"

$= \sqrt{3} .(16 \alpha - \frac{32Cos \alpha }{5} + \frac{32Sen \alpha }{5} )|(0,2 \pi ) \\ \\ = \sqrt{3} .(32 \pi ) \\ \\ =32 \pi \sqrt{3}$