Question

Ensino Superior
Determine a família de soluções da equação diferencial separável y ln x x’ =
$(\frac{y+1}{x}) ^{2}$

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Equação diferencial Separável

Dada à equação :

$~~~~\boxed{\sf{ y\ln(x)*x'~=~ \Big(\dfrac{y+1}{x}\Big)^2 } }$

• Vamos organizar as variaveis membro a membro :

$\iff \sf{ y\ln(x)*x'~=~ \dfrac{(y+1)^2}{x^2} }$

$\iff \sf{x^2\ln(x)*x'~=~ \dfrac{(y+1)^2}{y} }$

$\iff \sf{x^2\ln(x)*\dfrac{dx}{dy} ~=~\dfrac{(y+1)^2}{y} }$

$\iff \sf{x^2\ln(x)dx ~=~\Big(\dfrac{y^2+2y+1}{y}\Big)dy }$

• Vamos aplicar integrais para ambos membros :

$\iff \displaystyle\int x^2*\ln(x)dx ~=~\displaystyle\int \Big(\dfrac{1}{y}+y+2\Big)dy$

• Para calcular a primeira integral podemos simplesmente usar a integração por partes .

$\boxed{ \displaystyle\int udv~=~u*v-\displaystyle\int vdu }$

Seja: $u~=~\ln(x)~;~du~=~\dfrac{dx}{x}$

$\iff dv~=~x^2dx ~;~ v~=~\dfrac{x^3}{3}$

$\iff \dfrac{x^3*\ln(x)}{3}-\displaystyle\int \dfrac {x^3}{3}*\dfrac{1}{x}dx ~=~ \ln(y)+y^2+2y$

$\iff \dfrac{x^3*\ln(x)}{3} -\dfrac{1}{3}\displaystyle\int x^2dx ~=~\ln(y)+y^2+2y$

$\iff 2y~=~\dfrac{x^3\ln(x)}{3} - \dfrac{x^3}{9}-\ln(x)-y^2$

$\green{ \iff \boxed{\boxed{ y~=~\dfrac{x^3\ln(x)}{6}-\dfrac{x^3}{18}-\dfrac{y^2}{2}+C~,~com~C\in\mathbb{R} } } }$

ESPERO TER AJUDaDO BASTANTE! )