Question

Ensino superior

Calcular o comprimento de um arco com curva plana em sua equação cartesiana por:


HELP?????

Answer 1

diferencial ( aplicação )

Dada a função $\sf{y = x^2}$ definida em $\sf{ 0 \leq x \leq 2 }$ .

Queremos o comprimento do arco com uma uma curva plana na equação cartesiana dada a cima .

É sabido para uma função $\sf{y~=~f(x)}$ definida no intervalo $\sf{a \leq x \leq b }$ o comprimento L do arco será dado por :

$~~~~~~~~~~\boxed{ L ~=~\displaystyle\int^{b}_{a}\sf{\sqrt{1+\left[f'(x)\right]^2}dx} }$

Vamos achar a primeira derivada da função y :

$\iff \sf{ y'=2x }$

Substituindo na integral vamos ter :

$\iff ~ \sf{L}~=~\displaystyle\int^{2}_{0}\sf{\sqrt{1+(2x)^2}dx}$

Usando a substituição trigonométrica podemos calcular primeiro a integral indefinida .

Seja : $\sf{2x~=~1*\tan(k) ~;~dx~=~\dfrac{\sec^2(k)}{2}dk}$

$~~~~~=~\sf{\dfrac{1}{2}}\displaystyle\int\sf{\sqrt{1+\tan^2(k)}*\sec^2(k)dk}$

$\iff\sf{1}{2}\displaystyle\int\sf{\sec^3(k)dk}~=~\sf{\dfrac{1}{4}*\sec(k)*\tan(k)+\dfrac{1}{4}*\ln|\sec(k)+\tan(k)| }$

Lembramos que 2x = tan(k) então:

$~~~~~~\sf{k~=~\arctan(2x)}$

logo:

$~~~~~~\sf{=~\dfrac{1}{4}*\sec\left(\arctan(2x)\right)*\tan\left(\arctan(2x)\right)+\dfrac{1}{4}*\ln|\sec\left(\arctan(2x)\right)+\tan\left(\arctan(2x)\right)| }$

Usando uma calculadora , chegaremos que :

$~~~~~\boxed{\boxed{\sf{ L~~\approx ~8,5 u.c } } }$

This answer was elaborad by:

Murrima, Joaquim Marcelo

UEM (MOÇAMBIQUE) - DMI