Question

Enquanto houver diferenciabilidade em uma função, é possível continuar o processo de derivação para obter as derivadas terceira, quarta, quinta e até derivadas superiores de f. Essas derivadas também são chamadas de derivadas sucessivas. Assim, encontre a derivada de sexta ordem da função f(x) = 3x5 + 8x2 e assinale a alternativa correta:​​​​​​​


A.
f 6(x) = 0.


B.
f 6(x) = 360x.


C.
f 6(x) = 60x3 + 16.


D.
f 6(x) = 15x4 + 16x.


E.
f​​​​​​​ 6(x) = 16.

Answer 1

Fazendo as derivadas sucessivas de f(x), chegamos à derivada de sexta ordem de f(x) = 3x⁵ + 8x² que é f⁶(x) = 0. Alternativa A.

Derivadas sucessivas

Para derivar uma função polinomial lembramos que a derivada da soma é a soma das derivadas:

d(f + g)/dx = df/dx + dg/dx

e que a derivada de um monômio do tipo g(x) = axⁿ é:

g'(x) = naxⁿ⁻¹

Lembrando ainda que a derivada da função constante h(x) = c é

h'(x) = 0

Assim, a primeira derivada de f(x) = 3x⁵ + 8x² é

f''(x) = 3 · 5x⁴ + 2· 8x

f'(x) = 15x⁴ + 16x

E assim vamos derivando sucessivamente.

f''(x) = 4 · 15 x³ + 16

f''(x) = 60x³ + 16

f'''(x) = 3 · 60x² + 0

f'''(x) = 180x²

f⁴(x) = 2 · 180x

f⁴(x) = 360x

f⁵(x) = 360

f⁶(x) = 0

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