(Enem) Uma joia foi lapidada na forma de um poliedro convexo de 32 faces, sendo que 20 dessas são hexaedros e as restantes são pentagonais. Essa joia será um presente para uma senhora que está fazendo aniversário, completando uma idade cujo número é a quantidade de vértices desse poliedro. Essa senhora está completando quantos anos? *
Soluções para a tarefa
O número de vértices deste polígono é 60.
De acordo com os dados informados a questão,
número de faces = 32
20 hexagonais
12 pentagonais
Para desenvolver o cálculo do total de arestas, faremos que:
2A = 20(6) + 12(5)
2A= 120+60
A= 180/2
A = 90
De acordo com o Teorema de Euler
V+F=A+2
V+32=90+2
V=60
Sabe-se que de acordo com o Teorema de Euler podemos fazer a relação entre o número de faces, arestas e vértices dos poliedros convexos, sendo expressa pela seguinte fórmula:
V – A + F = 2
Onde:
V: número de vértices,
A: número de arestas
F: número de faces do poliedro.
RESPOSTA: 60 Anos
A senhora está completando 60 anos (Letra C).
Para responder essa questão é preciso saber de uma propriedade dos poliedros e da relação de Euler.
Propriedade: A soma dos vértices de todas as faces é igual ao dobro da soma das arestas de todas as faces.
Um poliedro de 32 faces, sendo 20 faces hexaedros e 12 faces pentagonais.
Ou seja, cada face do hexaedro possui 6 vértices. E cada face do pentágono possui 5 vértices. Sendo assim:
2 . A = (20 . 6) + (12 . 5)
2 . A = 120 + 60
A = 120 + 60 / 2
A = 180 / 2
A = 90
Relação de Euler: V - A + F = 2
V - A + F = 2
V + F = A + 2
V + 32 = 90 + 2
V = 92 - 32
V = 60
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