Matemática, perguntado por KFCYummy, 1 ano atrás

(ENEM) Uma família composta por sete pessoas adultas, após decidir o itinerário de sua viagem, consultou o site de uma empresa aérea e constatou que o voo para a data escolhida estava quase lotado. Na figura, disponibilizada pelo site, as poltronas ocupadas estão marcadas com X e as únicas poltronas disponíveis são as mostradas em branco.

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por CapitaoJack

304

Adoro essa questão.

Geralmente, as resoluções que você encontra para ela na internet apenas jogam fórmulas ou utilizam métodos que, às vezes, mais confundem do que ajudam. Tentarei explicar de uma maneira bem interessante e EXTREMAMENTE MASTIGADA. É necessário, no entanto, ter algum conhecimento sobre análise combinatória. Vamos lá. Temos que a família é composta por 7 pessoas e há 9 assentos vazios no avião. O que podemos concluir com isso? Que após todos os integrantes dessa família se sentarem restarão 2 assentos vazios (supondo que ninguém mais entrará na aeronave).

Para "matar" essa questão, deveremos saber QUANTAS POSSIBILIDADES EXISTEM PARA DOIS ASSENTOS VAZIOS. Vamos dar nomes a eles para facilitar o entendimento:

A = {a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9} | n(A) = 9

Descobrindo quantas sequências de dois assentos distintos são possíveis:

n . (n - 1)
[por isso eu disse que era necessário ter algum conhecimento sobre AC]
n = 9, logo

9. (9 - 1) = 72

Há 72 possibilidades, mas cuidado: dentre essas possibilidades temos, por exemplo,

Assentos vagos:
a1 e a7
a7 e a1

Note que os assentos serão os mesmos, qualquer que seja a ordem. Isso significa que temos, para cada conjunto de dois assentos, uma sequência a mais ("desnecessária"). Vamos dividir por 72 por 2.

72/2 = 36

Pronto. Você pode estar perguntando, "Mas qual foi a sequência que restou quando você dividiu?". Não interessa. Isso não é importante. O importante é que você já tem as sequências de dois assentos. Simples.

Continuando:

Como temos 36 conjuntos possíveis de 2 assentos para ficarem livres, para cada um teremos os 7 assentos restantes ocupados pelos membros da família. Perceba que se os assentos a3 e a8 ficarem vazios, a família se acomodará nos outros (a1, a2, a4, a5, a6, a7, a9).

A questão agora é saber DE QUANTAS MANEIRAS DISTINTAS AS PESSOAS PODEM OCUPAR ESSES ASSENTOS. Vamos lá:

F = {f1, f2, f3, f4, f5, f6, f7} | n(F) = 7

n . (n - 1) . (n - 2) ... 3 . 2 . 1 =
7 . 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 (ou 7!) = 5040

Assim, há 5040 maneiras distintas dessas pessoas se acomodarem no avião QUANDO OS ASSENTOS a3 E a8 ESTIVEREM VAZIOS. Note que são 5040 apenas para a3 e a8 vazios. Lembre-se de que temos 36 possibilidades de dois assentos vazios. Logo, a resposta final da questão será dada pelo produto entre 5040 e 36.

5040 . 36 = 181440

O negócio agora é ir testando os itens. Felizmente, a resposta já está na letra A, pois

$\frac{9!}{2!} = 181440$

LETRA A

Respondido por mayaravieiraj

Podemos dizer que há 181440 maneiras distintas dessas pessoas se acomodarem no avião quando os assentos a3 e a8 estiverem vazios.

Para responder de forma correta esse tipo de exercício, você deve ler em consideração os seguintes apontamentos, veja:

É necessário que você tenha conhecimentos acerca da análise combinatória.
a família em questão é composta por:

7 pessoas e há
9 assentos vazios no avião.

então, depois que todos os integrantes dessa família se sentarem, ainda restarão 2 assentos vazios, considerando que ninguém mais entrará no avião.

Sendo assim, precisamos saber quantas possibilidades existem para dois assentos vazios:

A = {a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9} | n(A) = 9

Para descobrir quantas sequências de dois assentos distintos são possíveis, faremos que:

n . (n - 1)

[por isso eu disse que era necessário ter algum conhecimento sobre AC]

n = 9

9. (9 - 1) = 72 possibilidades

dentre essas possibilidades temos:

Assentos vagos:

a1 e a7

a7 e a1

Os assentos serão os mesmos, independente da ordem então, para cada conjunto de dois assentos, teremos uma sequência a mais

72/2 = 36 conjuntos possíveis de 2 assentos para ficarem livres.

Para cada um dos assentos, teremos os 7 assentos restantes ocupados pelos membros da família.
Se os assentos a3 e a8 ficarem vazios, a família se acomodará nos outros (a1, a2, a4, a5, a6, a7, a9).