Question

(ENEM) Um professor, depois de corrigir as provas de sua turma, percebeu que várias questões estavam muito difíceis. Para compensar, decidiu utilizar uma função polinomial f, de grau menor que 3, para alterar as notas x da prova para notas y = f(x) , da seguinte maneira:• A nota zero permanece zero.• A nota 10 permanece 10.• A nota 5 passa a ser 6 .A expressão da função y = f(x) a ser utilizada pelo professor éa) y = - 1/25 x2 + 7/5 xb) y = - 1/10 x2 + 2 xc) y = 1/24 x2 + 7/12 xd) y = 4/5 x + 2e) y = x

Answer 1

A resposta certa é a A
y=f(x)
f(0)=0
f(10)=10
f(5)=6
mx^2+nx + p = y
Se x=0 --> f(0) = 0, portanto p será igual a 0
Simplificando a equação: mx^2 + nx = y
Colocando o "x" em evidência: x(mx+n)=y
Se x = 10 --> f(10) = 10, resultando na primeira equação: 10(10m+n) = 10
Simplificando: 10m + n = 1 Equação (1)
Se x = 5 --> f(5) = 6, resultando na segunda equação: 5(5m+n)=6
Simplificando: 5m + n = 6/5 Equação (2)
Fazendo um sistema de equações e resolvendo, obtemos: m = -1/25
Substituindo o valor de m em qualquer uma das equações (1) ou (2), obtemos o valor de n=7/5

Answer 2

Temos que f(x) = ax² + bx + c é a função que muda da nota x para a nota f(x). Assim, temos:

f(0) = a.0² + b.0 + c = 0, logo, c = 0

f(10) = a.10² + b.10 + c = 10 => 10.a + b = 1

f(5) = a.5² + b.5 + c = 6 => 25.a + 5.b = 6

Resolvendo o sistema:

10.a + b = 1

25.a + 5.b = 6

a = - 1/25

b = 7/5

Logo, a função f(x) é dada por:

y = - 1/25 x² + 7/5.x