Question

ENEM PPL

NUma publicacao cientifica de 1985 foi divulgada a descoberta de uma molecula tridimensional de carbono, na qual os atomos ocupam os vertices de um poliedro convexo cujas faces sao de 12 pentagonos e 20 hexagonos regulares, como uma bola de fut. em homenagem ao arquiteto fuller, a molecula foi denominada fulereno. qual eh o numero de atomos de carbono nessa molecula, e o numero de ligacoes entre eles

answer

a molecula possui 60 atomos e 90 ligacoes

resolucao pfvr

Answer 1

O número de faces desse polígono é F = 12 + 20 = 32. 
O total de arestas é 12 * 5 + 20 * 6 = 60 + 120 = 180. Mas cada uma das arestas foi contada duas vezes, logo o número de arestas é A = 180/2 = 90. 
Como o poliedro é convexo, podemos utilizar a fórmula de Euler: 
A + 2 = V + F => 90 + 2 = V + 32 => V = 60 

Temos 60 vértices. Para formar diagonais temos que sempre escolher dois desses 60 vértices para serem as extremidades das diagonais. Então vamos calcular quantas formas diferentes temos de escolher dois vértices em um conjunto de 60. Isso equivale a calcular o número de combinações de 60 elementos tomados 2 a 2: 

C60,2 = 60!/(58!2!) = 1770 

Mas perceba que nessa contagem incluímos diagonais das próprias faces (que não são internas) e inclusive as arestas do poliedro. Vamos ter q subtrair todos esses valores em excesso. 
As arestas do poliedro já sabemos que são 90. 
Agora vamos calcular as diagonais das faces: 
A fórmula para calcular o número de diagonais de um polígono convexo de n lados é n(n - 3)/2 
Assim sendo, as faces pentagonais têm 5*(5 - 3)/2 = 5 diagonais e as faces hexagonais têm 6*(6 - 3)/2 = 9 diagonais. 
Como eram 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais. Temos um total de 12 * 5 + 20 * 9 = 60 + 180 = 240 diagonais "superficiais". 

Logo o fulereno possui 1770 - 90 - 240 = 1440 diagonais internas. 

Answer 2

Átomos = vértices

ligações = Arestas

N= 2A

N= número de lados

A= arestas

N=( 12.5)+ (20.6)= 180 lados

agora substituindo na fórmula lá de cima :

N=2A

180=2.A

A=90 arestas ou ligações

usando Euller:

V+F=A+2

V+ ( 12+20) = 90+2

v= 60 vértices ou átomos