(ENEM-MEC) Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1m, conforme a figura.
Nessa figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00 o m², e o outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m².
De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação do vitral?
A) R$ 22,50
B) R$ 40,00
C) R$ 42,50
D) R$ 45,00
E) R$ 35,00
Soluções para a tarefa
Ac = área clara
C = custo
C = 30 * As + 50 * Ac
Ac = 4 * Aapb
Ac = 4 * 1/2 * 1/4 / 2
Ac = 1/4 m²
As = 1² - 1/4
As = 3/4 m²
C = 30 * 3/4 + 50 * 1/4
C = 22,5 + 12,5
C = 35
Letra E.
De acordo com esses dados, o custo dos materiais usados na fabricação do vitral é R$35,00.
Vamos calcular as áreas sombreada e branca separadamente.
Área sombreada
A área sombreada é formada por 4 triângulos retângulos e um losango.
Como A, B, C e D são pontos médios e o lado do quadrado mede 1 metro, então tanto a base quanto a altura dos triângulos retângulos medem 1/2 metro.
A área de um triângulo é igual à metade do produto da base pela altura.
Logo:
A' = 0,5.0,5/2
A' = 1/2 m².
A área de um losango é igual à metade do produto das diagonais.
A diagonal maior mede 1 metro. Já a diagonal menor mede 1/2 metro, pois AP = QC = 1/4.
Logo:
A'' = 1.0,5/2
A'' = 1/4 m².
Portanto, a área sombreada é igual a:
As = 1/2 + 1/4
As = 3/4
As = 0,75 m².
Área branca
A área branca será igual à diferença entre a área do quadrado maior e a área sombreada.
Logo:
Ab = 1 - 0,75
Ab = 0,25 m².
Como o material para a área sombreada custa R$30,00/m² e o material para a área branca custa R$50,00/m², então o custo total é de:
C = 30.0,75 + 50.0,25
C = 22,5 + 12,5
C = 35 reais.
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