Question

Enem[H21] existem hoje em um assentamento de terra 10 pessoas no entanto o governo federal pretende que mais pessoas sejam alocadas nele. Suponha que o número N de pessoas nesse assentamento, daqui a T anos, possa ser modelado pela função

N(t)+10*(2,56)^t.

O tempo minimo para que esse assentamento tenha 2000 pessoas é de:

DADO- ( log 2=0,3)

a-) 5 anos e 9 meses

b-) 6 anos

c-) 6 anos e 4 meses

d-) 6 anos e 8 meses

e-) 7 anos

Answer 1

Alternativa A: 5 anos e 9 meses.

Inicialmente, vamos substituir o número de 2000 pessoas e efetuar as operações possíveis:

$2000=10\times 2,56^t \\ \\ 200=2,56^t$

Agora, vamos aplicar o logaritmo em ambos os lados da equação:

$log(200)=log(2,56^t)$

Vamos aplicar a propriedade do expoente e passar o expoente "t" multiplicando o logaritmo:

$log(200)=t\times log(2,56)$

Uma vez que temos a informação do log (2), vamos escrever os números em função dele:

$log(2\times 100)=t\times log(\frac{256}{100}) \\ \\ log(2\times 100)=t\times log(\frac{2^8}{100})$

Então, vamos aplicar a propriedade da multiplicação e divisão, que se transformam em soma e subtração de logaritmos, respectivamente:

$log(2)+log(100)=t\times [log(2^8)-log(100)]$

Novamente aplicamos a propriedade do expoente. Depois, substituímos os valores de cada logaritmo.

$log(2)+log(100)=t\times [8\times log(2)-log(100)] \\ \\ 0,3+2=t\times (8\times 0,3-2) \\ \\ 2,3=0,4t$

Por fim, basta isolar a incógnita "t" para determinar o tempo mínimo necessário para atingir essa população. Esse valor será:

$t=\frac{2,3}{4}=5,75 \ anos=5 \ anos \ e \ 9 \ meses$