Question

ENEM A quantidade de certa espécie de crustáceos. Medida em toneladas, presente num trecho de mangue, 600 sobre 6+ 4 sen (wt) foi modelada pela equação: Q(t) = 6 6 que t representa o número de meses transcorridos após o inicio de estudo e é uma constante. O máximo e o minimo de toneladas observados durante este estudo são, respectivamente,




a) 600 e 100.




b) 600 e 150




c) 300 e 100.




d) 300 e 60.




e) 100 e 60.

Answer 1

A quantidade de crustáceos em toneladas é dada pela seguinte equação:

$Q(t) =\dfrac{600}{6 + 4 \cdot sen(wt)}$

Onde t representa o tempo em meses e w uma constante qualquer.

Lembre-se de que a função sen (x) possui máximo em 1 e mínimo em -1. Porém neste exercício, no denominador, temos 4 sen (x), logo o máximo passa a ser em 4 x 1 = 4 e o mínimo em 4 x (-1) = -4.

Assim, para descobrir o máximo e mínimo de Q(t), basta substituir estes dois números na equação:

$Q(t)_{max} =\dfrac{600}{6 + 4 \cdot (1)} = \dfrac{600}{10} = 60\\\\\\Q(t)_{min} =\dfrac{600}{6 + 4 \cdot (-1)} = \dfrac{600}{2} = 300$

Resposta: Letra D.

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Answer 2

A quantidade de crustáceos varia de 60 toneladas, valor mínimo, a 300 toneladas, valor máximo, como indicado pela alternativa d.

Nessa questão, estamos trabalhando com uma função circular, que utiliza a razão trigonométrica do seno.

A função seno é uma função cuja imagem é limitada ao intervalo $[-1,1]$. Assim, essa função possui um valor máximo, que é igual a 1, e um valor mínimo, que é igual a -1.

Precisamos aplicar essa informação, para definirmos os valores máximo e mínimo da quantidade de crustáceos em um trecho de mangue, em toneladas.

A quantidade de crustáceos no trecho é dada por:

$Q(t)=\frac{600}{6+4sen(wt)}$

Assim, como a parte variável da função é o seno e ele está no denominador, temos que:

• quando o seno assume o maior valor (1), o denominador assume o maior valor possível e, com isso, a quantidade será mínima.
• quando o seno assume o menor valor (-1), o denominador assume o menor valor possível e, com isso, a quantidade será máxima.

Portanto, temos:

$Q_{max}=\frac{600}{6+4(-1)} =\frac{600}{6-4}=\frac{600}{2}=300 ton$

$Q_{min}=\frac{600}{6+4(1)}=\frac{600}{10}=60 ton$

Para ver o comportamento completo dessa função, para $w=2$, veja a imagem abaixo.

Logo, o valor máximo é de 300 toneladas e o valor mínimo é de 60 toneladas, conforme indicado pela alternativa d.

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