Question

(ENEM – 2020 ADAPTADO). Em matemática, o quociente entre dois números inteiros a e b, sendo b diferente de zero, é definido como uma razão. Grandezas, como a velocidade, por exemplo, podem ser expressas como a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la. Outro exemplo é a densidade demográfica, que pode ser expressa como a razão entre o número de habitantes de uma dada região e a sua área. Quando temos a igualdade entre duas razões, definimos a proporção. Analise a situação a seguir. Após o término das inscrições de um concurso, cujo número de vagas é fixo, foi divulgado que a razão entre o número de candidatos e o número de vagas, nesta ordem, era igual a 300. Entretanto, as inscrições foram prorrogadas, inscrevendo-se mais 4 000 candidatos, fazendo com que a razão anteriormente referida passasse a ser igual a 400. Todos os candidatos inscritos fizeram a prova, e o total de candidatos aprovados foi igual à quantidade de vagas. Os demais candidatos foram reprovados. Nessas condições, quantos foram os candidatos reprovados?

Answer 1

15960 candidatos foram reprovados.

• Observe que o total de candidatos aprovados foi igual à quantidade de vagas. Para fazer o equacionamento do enunciado considere:

a: quantidade de candidatos aprovados (= quantidade de vagas).

r: quantidade de candidatos reprovados incluindo os 4.000 inscritos após a prorrogação.

• Se após a prorrogação, considerando mais 4.000 candidatos inscritos,  a razão foi igual a 400, então:

$\large \sf \dfrac{a+r}{a}= 400$  ①

• Se a razão entre a quantidade de candidatos (excluindo os 4.000 inscritos após a prorrogação) e a quantidade de vagas (a), nesta ordem, era igual a 300, então:

$\large \sf \dfrac{a+r-4000}{a} = 300$

$\large \sf \dfrac{a+r}{a} - \dfrac{4000}{a}= 300$

• Substitua a equação ① nessa equação.

$\large \sf 400 - \dfrac{4000}{a}= 300$

$\large \sf \dfrac{4000}{a}= 100$

a = 40 candidatos

• Substitua o valor de a na equação ①.

$\large \sf \dfrac{a+r}{a}= 400$

$\large \sf \dfrac{40+r}{40}= 400$

40 + r = 16.000

r = 15960 candidatos

15960 candidatos foram reprovados.

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Answer 2

De todos os candidatos inscritos no concurso, 15.960 foram reprovados!

Vamos estabelecer uma relação entre as razões, antes e depois da prorrogação das inscrições, sendo "x" o número de vagas e "y" o número de candidatos.

Antes da prorrogação:

$\mathsf{\dfrac{y}{x}=300}$

Depois da prorrogação:

$\mathsf{\dfrac{y+4000}{x} = 400}$

*Foram inscritos mais 4000 candidatos (y + 4000);

*O número de vagas é o mesmo;

*A razão agora vale 400.

Perceba que temos duas incógnitas, e seus valores não mudam, visto que há uma proporção entre as relações! Podemos usar um sistema de equações para descobrir esses valores:

$\begin{cases}\mathsf{\dfrac{y}{x}=300}\\\\\mathsf{\dfrac{y+4000}{x} = 400}\end{cases}$

Vamos usar o método da substituição, onde isolamos uma das incógnitas e uma das equações:

$\mathsf{y = 300x}$

E substituímos na outra equação:

$\mathsf{\dfrac{300x+4000}{x} = 400}\\\\\mathsf{300x+4000 = 400x}\\\mathsf{300x -400x= -4000}\\\mathsf{-100x = -4000}\\\\\mathsf{x = \dfrac{-4000}{-100}}\\\\\\\overline{\underline{\mathsf{x = 40}}}$

Agora podemos substituir o valor de "x" (número de vagas) em uma das equações para encontrar o valor de "y" (número de candidatos iniciais):

$\mathsf{\dfrac{y}{40}=300}\\\\\mathsf{y = 300 \cdot 40}\\\\\underline{\overline{\mathsf{y = 12000}}}$

Calculamos o número de candidatos inscritos, após a prorrogação:

$\mathsf{n_c = 12000+4000}\\\\\overline{\underline{\mathsf{n_c = 16000}}}$

E desse total, subtraímos os 40 que foram aprovados:

$\mathsf{n_r = 16000-40}\\\\\boxed{\overline{\underline{\mathsf{n_r = 15960}}}}$

Que tal aprender mais sobre sistemas de equações?!

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