Question

ENEM 2019 adaptada) Para um torneio de xadrez, dos oito inscritos, dois deles são enxadristas profissionais. Para o torneio, serão formadas quatro duplas, mas nenhuma delas deve ser composta pelos dois enxadristas. De quantas maneiras diferentes podem ser formadas essas quatro duplas? Escolha uma opção: a. 64 b. 70 c. 90 d. 104 e. 80 ​

Answer 1

Há 2 modos de escolher um enxadrista profissional. Escolhido este, há 6 modos de escolher seu contrintante. Escolhendo o segundo profissional (só 1 modo, pois o outro já foi escolhido), há 5 modos de escolher o amador que jogará com ele. Daqui para a frente podem ser escolhidos livremente os outros 4 jogadores (4! modos). De acordo com o princípio fundamental da contagem, basta multiplicar tudo:
$2 \cdot 6 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 4! = 2 \cdot 6! = 1440$

Mas espera aí. Escolher a dupla {A, B} é o mesmo que escolher a dupla {B, A}. Então cada dupla foi escolhida 2 vezes. Como foram escolhidas 4 duplas, basta dividir 1440 por $2^4$:
$\cfrac{1440}{2^4} = \cfrac{1440}{16} = 90$

c) 90