(ENEM 2019 – Adaptada) No desenvolvimento de um novo remédio, pesquisadores monitoram a quantidade Q de uma substância circulando na corrente sanguínea de um paciente, ao longo do tempo t. Esses pesquisadores controlam o processo, observando que Q é uma função quadrática de t. Os dados coletados nas duas primeiras horas foram: imagem
Para decidir se devem interromper o processo, evitando riscos ao paciente, os pesquisadores querem saber, antecipadamente, a quantidade da substância que estará circulando na corrente sanguínea desse paciente após uma hora do último dado coletado.Nas condições expostas, essa quantidade (em miligrama) será igual a:
a) 1
b) 14
c) 20
d) 24
e) 25
Soluções para a tarefa
Resposta:
e) 25
Explicação passo-a-passo:
A função quadrática é aquela que tem a forma definida como:
f(x) = a.x2 + b.x + c
No caso, como Q é função quadratica de t, teremos o formato da função como:
Q(t) = a.t2 + b.t + c
O enunciado nos informa que quando t=0, Q (t) é igual a 1.Portanto:
Q(t) = a.t2 + b.t + c
Q(0) = a.(0 ao quadrado) + b.0 + c = 1
a.0 + b.0 + c = 1
0 + 0 + c = 1
c = 1
Logo, a nossa função será:
Q(t) = a.t2 + b.t + 1
O enunciado também nos diz que Q(1)=13 e Q(2)=21.
Substituindo os valores na nossa função teremos um sistema de 2 equações com as incógnitas a e b:
Q(1) = a.(1 ao quadrado) + b.1 + 1 = 13
Q(2) = a.(2 ao quadrado) + b.2 + 1 = 21
O sistema fica:
a + b + 1 = 13
4a + 2b + 1 = 21 ou passando o 1 pro outro lado:
a + b = 12
4a + 2b = 20
Resolvemos o sistema, multiplicando a primeira por -2 e somando com a de baixo para eliminar o b:
-2a - 2b = -24
4a + 2b = 20
2a = -4
a = -2
Substituindo na primeira de cima:
a + b = 12
-2 + b = 12
b = 12 + 2
b = 14
Logo, substituindo os valores de a e b na nossa função original, teremos:
Q(t) = a.t2 + b.t + 1
Q(t) = -2.t2 + 14.t + 1.
Mas a pergunta é qual a quantidade de substância - Q(t) - está circulando na primeira hora após o último dado coletado, ou seja, após t=2, logo, na terceira hora, ou seja, a questão quer saber o valor de Q(t) quando t=3 na nossa função:
Q(t) = -2.t2 + 14.t + 1
Basta substituirmos t=3 na função:
Q(3) = -2.(3 ao quadrado) + 14.3 + 1
Q(3) = -2.(9) + 42 + 1
Q(3) = -18 + 43
Q(3) = 25