Question

(Enem/2012) Sabendo que o ponto B =(3,b) é equidistante dos pontos A= (6,0) e C=(0,6), então b vale ?

Answer 1

Olá.

Equidistante quer dizer a mesma distância.

Com isso basta fazer a distância de B até A= a distância de B até C.


$\sqrt { (3-6)^{ 2 }+(b-0)^{ 2 } } =\sqrt { (3-0)^{ 2 }+(b-6)^{ 2 } } \\ \\ \sqrt { (-3)^{ 2 }+b^{ 2 } } =\sqrt { 3^{ 2 }+(b-6)^{ 2 } } \\ \\ \sqrt { 9+b^{ 2 } } =\sqrt { 9+b^{ 2 }-12b+36 } \\ \\ (\sqrt { 9+b^{ 2 } } )^{ 2 }=(\sqrt { 9+b^{ 2 }-12b+36 } )^{ 2 }\\ \\ 9+b^{ 2 }=b^{ 2 }-12b+9+36\\ -12b+36=0\\ 36=12b\\ \frac { 36 }{ 12 } =b\\ \\ 3=b$

Answer 2

Prezada.

São dados:

$A(6,0) \\ B(3,b) \\ C(0,6)$

Pelo argumento do enunciado concluímos que:

$\boxed{\boxed{\vec{AB}= \vec{BC}}}$

Então para obtermos as coordenadas do ponto $B$; temos que o ponto médio nos indicara, este mesmo valor; tendo por base os pontos extremos desta reta:

$\boxed{\boxed{\boxed{m-> \vec{AC}\therefore B(x_m, y_m)}}}$

$x_m= \frac{6+0}{2} \\ x_m= \frac{6}{2} \\ \boxed{\boxed{x_m= 3}} \\ \\ y_m= \frac{0+6}{2} \\ y_m= \frac{6}{2} \\ \boxed{\boxed{y_m= 3}}$

Então:

$\boxed{B(x_m, y_m) \therefore B(3,3)}$

Provando que $\vec{AB}= \vec{BC} \\ \\ \sqrt{(6-3)^2+(0-3)^2} = \sqrt{(3-0)^2+(6-3)^2} \\ \sqrt{(3)^2+(-3)^2} = \sqrt{(3)^2+(3)^2} \\ \sqrt{9+9} = \sqrt{9+9} \\ \boxed{\boxed{\boxed{\sqrt{18} = \sqrt{18}}}}$

Obs.: Qualquer dúvida me consulte.