Question

Encontre uma reta vertical x = k que divida a ´area englobada pelas curvas x = √y, x = 2, y = 0 em duas partes iguais.

Answer 1

Ok, vamos chamar x=√y de y=x² (x≥0).

Entao, a integral de 0 a k deve ser igual a integral de k a 2.

$\int\limits^k_0 {x^2} \, dx = \int\limits^k_2 {x^2} \, dx \\\\\\\left[\dfrac{x^3}{3}\right]^k_0=\left[\dfrac{x^3}{3}\right]^2_k\\\\\\\left(\dfrac{k^3}{3}\right)-\left(\dfrac{0^3}{3}\right)=\left(\dfrac{2^3}{3}\right)-\left(\dfrac{k^3}{3}\right)\\\\\\\dfrac{2k^3}{3}=\dfrac{8}{3}\\\\k^3=4\\\\x=\sqrt[3]{4}$

Answer 2

Utilizando integrais, concluímos que, para as áreas sejam iguais temos

$k = \sqrt[3]{4}$

Como calcular áreas utilizando integral?

Dada uma função f(x) contínua, positiva e integrável em um intervalo [a,b]. A área sob o gráfico de f(x), acima do eixo x e entre as retas x=a e x=b é dada pela integral

$\int_{a}^{b} f(x) \: dx$

Como queremos que as áreas sejam iguais, basta igualar as integrais da função f(x) = x^2 nos intervalos [0,k] e [k,2] e calcular o valor de k. A função que queremos integrar é uma função polinomial da forma x^n, logo, devemos somar uma unidade no expoente e multiplicar o resultado por 1/(n+1), como a integral é uma integral definida não precisamos somar uma constante ao resultado. Dessa forma, temos que:

$\int_{0}^{k} {x}^{2} \: dx \: = \: \int_{k}^{2} {x}^{2} \: dx \\ \frac{ {x}^{3} }{3} )_{0}^{k} = \frac{ {x}^{3} }{3} )_{k}^{2} \\ \frac{ {k}^{3} }{3} - 0 = \frac{8}{3} - \frac{ {k}^{3} }{3} \\ \frac{2{k}^{3} }{3} = \frac{8}{3} \\ k = \sqrt[3]{4}$

O valor de k que satisfaz a igualdade é

$k = \sqrt[3]{4}$

Para mais informações sobre cálculo de áreas por integrais, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/48862081