Question

Encontre uma primitiva para as funções:

a) y = t²
b) $y=\frac{1}{3} x^\frac{-2}{3}$

Answer 1

Resposta:

Encontra-se uma primitiva de uma função por meio do cálculo de sua integral indefinida. Assim:

a)

$f(t) = t^{2}\\\\F(t) = \int {t^{2}} \, dt = \frac{1}{3}t^{3} + C.$

Pode-se substituir a constante de integração $C$ por qualquer valor real para se obter uma primitiva. Tomando $C = 0$, por exemplo, temos:

$F(t) = \frac{1}{3}t^{3},$

que é uma primitiva possível, pois $\frac{d}{dt}(\frac{1}{3}t^{3}) = t^{2}.$

b)

$f(x) = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}\\\\F(t) = \int {\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}} \, dx = \frac{1}{3}\frac{(x^{-\frac{2}{3}+1}) }{-\frac{2}{3}+1 } + C = \frac{1}{3}\frac{x^{\frac{1}{3}} }{\frac{1}{3} } + C = x^{\frac{1}{3}} + C.$

Considerando-se $C = 0$, uma possível primitiva é:

$F(t) = x^{\frac{1}{3}}.$