Question

Encontre uma primitiva para a função f(x)=cos³(x)

Answer 1

Para encontrar a primitiva dessa função, teremos que integrá-la:

$\sf \int cos {}^{3} x \: dx$

Essa integral é um dos tipos de integral trigonométrica, que se encaixa no seguinte padrão:

$\sf \int cos{}^{n}x \: dx \rightarrow \begin{cases} \sf n\rightarrow \acute{i}mpar : sen^{2}x + cos^{2}x = 1\\\\\sf n \rightarrow par: sen^{2}x = \frac{1-cos(2x)}{2}\:\:ou \:\: cos^{2} = \frac{1+cos(2x)}{2} \end{cases}$

Para resolver essa integral vamos expandir a expressão do cosseno, ou seja, se estava ao cubo vamos deixar ao quadrado por um simples motivo:

$\sf \int (cos {}^{2} x.cosx) dx$

De acordo com caracterização dessa integral, o expoente ímpar deve usar a relação fundamental da trigonometria, e é isso que faremos:

$\sf sen {}^{2} x + cos {}^{2} x = 1 \\ \sf cos {}^{2} x = 1 - sen {}^{2} x$

Substituindo o valor de cos²x:

$\sf \int (cos {}^{2} x.cosx)dx = \int ((1 - sen {}^{2} x).cosx )dx = \\ \\ \sf \int (cosx.1 - sen {}^{2} x.cosx)dx$

Vamos usar essa propriedade de integrais:

$\sf \int[f(x) + g(x)]dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx$

Abrindo a integral em duas:

$\sf \int (cos x - sen {}^{2} x.cosx)dx = \boxed { \sf\int cosx \:dx - \int sen {}^{2} x \: dx }$

Teremos que resolver cada uma daquelas integrais:

• A primeira é bem simples, pois basta lembrar qual é a derivada do cosseno, já que a integral é o inverso da derivada.

$\sf \int cosx \:dx = - senx$

• A segunda já é mais complicada pois temos que resolver através do método da substituição.

→ Chamarei o "u" de senx:

$\ \sf \int sen {}^{2} x.cosx \\ \\ \sf u = senx \\ \sf\frac{du}{dx} = cosx \\ \sf du = cosx.dx \\ \\ \sf \int u {}^{2} .du$

Para resolver essa integral resultante, teremos que usar a seguinte integral imediata:

$\boxed{\boxed{\sf \int u {}^{n} du = \frac{u {}^{n + 1} }{n + 1} }}$

Aplicando:

$\sf \int u {}^{2} du = \frac{u {}^{2 + 1} }{2 + 1} = \frac{u {}^{3} }{3} = \frac{sen {}^{3}x }{3}$

Por fim concluímos que:

$\boxed{ \sf \int cos {}^{3} x dx = senx - \frac{sen {}^{3} x}{3} + C}$

Essa é a primitiva de f(x) = cos³x.