Question

Encontre uma função f tal que f´(x)+sen x=0 e f(0)=2

Answer 1

Integral: f(x) = - senx 
              f(x) = cos + c 
              f(0) = 2 
              2 = cos 0° +c 
              2 = 1 + c 
              C = 1 
               f (x) = cos + 1

Answer 2

Como f´(x)=-sen, a função f(x) é igual a f(x)=cos x +1.

Integral de funções trigonométricas

Primeiramente, devemos rescrever a função:

$f'(x)+sen~x=0\Rightarrow f'(x)=-sen~x$

Percebemos que a função acima é a primeira derivada da função f(x). Para determinar a f(x) devemos fazer a integral de f'(x), já que a integração é o inverso da derivação.

$f(x)=\int\ {f'(x)} \, dx =\int\ {-sen~x \, dx$

Sabemos que a integral indefinida do seno é dada por:

Regra de integração

$\int\ {sen~x \, dx=-cos~x+Cte.$

Aplicando a regra acima, temos:

$f(x)= -(-cos~x) + Cte. \Rightarrow \boxed{\begin{array}{lr}\boxed{\begin{array}{lr}f(x)= cos~x + Cte.\end{array}}\end{array}}$

Para encontrar o valor da constante basta fazer x = 0 que é um valor conhecido da função.

$f(0)=2\\\\\\\\2= cos~~(0) + Cte.\Rightarrow 2=1+Cte. \Rightarrow \boxed{\begin{array}{lr}\boxed{\begin{array}{lr} Cte.=1\end{array}}\end{array}}$

Logo a função f(x) completa é igual a:

$\boxed{\begin{array}{lr}\boxed{\begin{array}{lr}f(x)= cos~x + 1\end{array}}\end{array}}$

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