Question

encontre uma formula fechada para o somatorio ∑$\frac{1}{k(k-1}$ com k variando de 2 a n

Answer 1

É dado o somatório:

$\displaystyle \sum_{k=2}^{n}\dfrac{1}{k(k-1)}$

Note que (considerando que $a_k$ é o termo geral do somatório):

$a_k=\dfrac{1}{k(k-1)}=\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}$

Então:

$\displaystyle \sum_{k=2}^{n}\dfrac{1}{k(k-1)}=\sum_{k=2}^{n}\left(\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}\right)$

Perceba que o somatório representa uma soma telescópica:

$\displaystyle a_2=\dfrac{1}{1}-\diagup\!\!\!\!\!\dfrac{1}{2}\\\\ a_3=\diagup\!\!\!\!\!\dfrac{1}{2}-\diagdown\!\!\!\!\!\dfrac{1}{3}\\\\ a_4=\diagdown\!\!\!\!\!\dfrac{1}{3}-\diagup\!\!\!\!\!\dfrac{1}{4}\\\\ \vdots~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+\\\\ a_n=~~\diagup\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\\ \underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}\\\\ (a_2+a_3+...+a_n)=1-\dfrac{1}{n}\\\\ \boxed{\boxed{\sum_{k=2}^na_k=1-\dfrac{1}{n}}}$