Question

Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é y = e^4x ( C1cos3x + C2sen3x )

Answer 1

Temos que seria  $y''-8y'+(73/4)y = 0$

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente vamos escrever estas equações de uma forma mais geral:

$y=e^{4x}(Acos(3x)+Bsen(3x))$

Usando relação de Euler:

$cos(3x) = \frac{e^{i3x}+e^{-i3x}}{2}$

$sen(3x) = \frac{e^{i3x}-e^{-i3x}}{2i}$

Temos que:

$y=e^{4x}(A(\frac{e^{i3x}+e^{-i3x}}{2})+B(\frac{e^{i3x}-e^{-i3x}}{2i}))$

Assimilando as os valores de 2 e 2i dentro das constantes arbitrarias:

$y=e^{4x}(A(e^{i3x}+e^{-i3x})+B(e^{i3x}-e^{-i3x}))$

$y=e^{4x}((A+B)e^{i3x}+(A-B)e^{-i3x}$

$y=(A+B)e^{4x+i3x}+(A-B)e^{4x-i3x}$

$y=(A+B)e^{(4+i3)x}+(A-B)e^{(4-i3)x}$

Assim sabemos que as raízes da nossa equação identidade seriam:

r = 4 ± 3i

Ou seja, colocando isso como raízes de uma equação do segundo grau, a equação em si seria:

(r-(4+3i))(r-(4-3i)) = r² - (4-3i)r - (4+3i)r + 73/4 = r² - 8r + 73/4 = 0

Então se a solução suposta for $y=e^{rx}$, a equação diferencial é então:

$(r^2)e^{rx}-(8r)e^{rx}+(73/4)e^{rx} = 0$

$y''-8y'+(73/4)y = 0$