Question

Encontre uma equação da reta tangente à curva y=√x no ponto (1,1).

Answer 1

A equação da reta tangente é do tipo :

$\text y - \text y_o = \text m(\text x - \text x_o)$

Sendo  $\text m = \text y'$

Temos a curva :

$\text y= \sqrt{\text x} \to \text y = (\text x) ^{\displaystyle \frac{1}{2}}$

vamos derivar para achar o coeficiente angular

$\displaystyle \text m = \text y' = \frac{1}{2}.\text x^{(\displaystyle 1-\frac{1}{2})}$

$\displaystyle \text m = \text y' = \frac{1}{2}.\text x^{(\displaystyle \frac{-1}{2})}$

$\displaystyle \text m = \text y' = \frac{1}{2\sqrt{\text x}}$

no ponto (1,1)

$\displaystyle \text m = \text y' = \frac{1}{2\sqrt{\text 1}} \\\\ \boxed{\text m = \text y' = \frac{1}{2}}$

Substituindo na equação da reta que passa no ponto (1,1 )  :

$\text y - \text y_o = \text m(\text x - \text x_o )$

$\displaystyle \text y - 1 = \frac{1}{2}(\text x - 1 )$

$\displaystyle \text y = \frac{\text x}{2}+1 - \frac{1}{2}$

$\displaystyle \text y = \frac{\text x}{2}+ \frac{1}{2} \to 2\text y = \text x + 1$

portanto a reta tangente é :

$\huge\boxed{-\text x+2\text y - 1 = 0 }$