Question

Encontre uma equação da reta tangente á curva y=(raiz a 4 de x) no ponto (1,1)
Detalhado,por favor

Answer 1

equação de uma reta
$\boxed{y=m*(x-x_0)+y_0}$

m = coeficiente angular 
xo e yo é um ponto conhecido por onde a reta passa

na reta tangente 
o coeficiente angular é dado por 
m = f'(xo)  = a derivada da função calculada no ponto onde vc quer que a reta seja tangente a curva

então a equação da reta tangente fica
$\boxed{\boxed{y=f'(x_0)*(x-x_0)+y_0}}$

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aplicando isso no problema

$\Bmatrix{f(x)= \sqrt[4]{x} \\\\P=(1,1)\\\\\text{entao}\\x_0=1\\y_0=1\end$

unica coisa que falta pra montar a equação da reta é o coeficiente angular

derivando a função

$f(x)= \sqrt[4]{x^1} = x^ \frac{1}{4} \\\\f'(x)= \frac{1}{4}*x^{ \frac{1}{4}-1 } \\\\f'(x)= \frac{1}{4}*x^{ \frac{-3}{4} } \\\\f'(x)= \frac{1}{4}* \frac{1}{x^{ \frac{3}{4} }} \\\\\boxed{f'(x)= \frac{1}{4 *\sqrt[4]{x^3} } }$

calculando a derivada no ponto xo ..vc tem o coeficiente angular

$f'(x_0)=f'(1)= \frac{1}{4* \sqrt[4]{1^3} } = \frac{1}{4}$

montando a equação da reta
xo = 1 
yo = 1
m = coeficiente angular = 1/4

$y= \frac{1}{4}*(x-1)+1 \\\\y= \frac{x-1}{4}+1\\\\\boxed{y= \frac{x+3}{4} }$