Question

Encontre uma base ortonormal do subespaço de r³ gerado pelos vetores (1,0,3), (4,5,-1) e (-2,-5,7)?

Answer 1

Considere a matriz A abaixo

$A=\left[\begin{array}{ccc}1&~~4&-2\\0&~~5&-5\\3&-1&~~7\end{array}\right]$

Sabemos que a imagem de A é dada pelo espaço coluna de A, ou seja, o espaço gerado pelas colunas de A, que é justamente o espaço gerado pelos vetores (1,0,3), (4,5,-1) e (-2,-5,7)

Para acharmos uma base para a imagem de A, escalonamos a transposta dessa matriz

$A^{T}=\left[\begin{array}{ccc}~~1&~~0&~~3\\~~4&~~5&-1\\-2&-5&~~7\end{array}\right]$

Escalonando essa matriz:

$\left[\begin{array}{ccc}~~1&~~0&~~3\\~~4&~~5&-1\\-2&-5&~~7\end{array}\right]l_{2}\leftarrow l_{2}-4l_{1},~~~l_{3}\leftarrow l_{3}+2l_{1}\\\\\\\left[\begin{array}{ccc}~~1&~~0&~~3\\~~0&~~5&-13\\~~0&-5&~~13\end{array}\right]l_{3}\leftarrow l_{3}+l_{2}\\\\\\\left[\begin{array}{ccc}~~1&~~0&~~3\\~~0&~~5&-13\\~~0&~~0&~~0\end{array}\right]$

Descartando a linha nula:

$\left[\begin{array}{ccc}~~1&~~0&~~3\\~~0&~~5&-13\end{array}\right]$

Como descartamos a terceira linha, ou seja, o terceiro vetor, temos que esse é combinação linear dos dois primeiros. Portanto, sabemos que o conjunto

$\beta=\{(1,0,3),~(4,5,-1)\}$

é uma base do espaço gerado.

Para acharmos uma base ortogonal, podemos ortogonalizar esse conjunto utilizando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, definindo u₁ como

$u_{1}=v_{1}=(1,0,3)$

E fazendo

$\vec{u_{2}}=\vec{v_{2}}-\dfrac{\vec{v_{2}}\cdot\vec{u_{1}}}{\vec{u_{1}}\cdot \vec{u_{1}}}\vec{u_{1}}\\\\\\\vec{u_{2}}=(4,5,-1)-\dfrac{(4,5,-1)\cdot(1,0,3)}{||\vec{u}||^{2}}(1,0,3)\\\\\\\vec{u_{2}}=(4,5,-1)-\dfrac{4\cdot1+5\cdot0-1\cdot3}{1^{2}+0^{2}+3^{2}}(1,0,3)\\\\\\\vec{u_{2}}=(4,5,-1)-\dfrac{4-3}{1+9}(1,0,3)\\\\\\\vec{u_{2}}=(4,5,-1)-\dfrac{1}{10}(1,0,3)\\\\\\\vec{u_{2}}=\left(4-\dfrac{1}{10},~5-0,-1-\dfrac{3}{10}\right)\\\\\\\boxed{\boxed{\vec{u_{2}}=\left(\dfrac{39}{10},~5,-\dfrac{13}{10}\right)}}$

Podemos pegar um múltiplo de u₂ para colocar na base ortogonal, já que apenas a direção desse vetor é importante. Portanto, vamos fazer u₂ receber 10u₂, ficando com

$u_{2}'=(39,~50,-13)$

Então, temos a seguinte base ortogonal (verifique a ortogonalidade):

$\alpha=\{(1,0,3),~(39,50,-13)\}$

Agora, basta normalizarmos os vetores dessa base, e encontrar uma base normal

Para normalizar os vetores, utilizarei $\^v=\dfrac{1}{||\vec{v}||}\vec{v}$

Então:

$\^u_{1}=\dfrac{1}{||\vec{u_{1}}||}\vec{u_{1}}=\dfrac{1}{\sqrt{1^{2}+0^{2}+3^{2}}}(1,0,3)=\dfrac{1}{\sqrt{10}}(1,0,3)=\left(\dfrac{1}{\sqrt{10}},0,\dfrac{3}{\sqrt{10}}\right)$



$\^u_{2}=\dfrac{1}{||\vec{u_{2}}||}\vec{u_{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{39^{2}+50^{2}+(-13)^{2}}}(39,50,-13)=\left(\dfrac{39}{\sqrt{4910}},\dfrac{50}{\sqrt{4910}},-\dfrac{13}{\sqrt{4910}}\right)$

Base ortonormal do subespaço:

$\boxed{\boxed{\gamma=\{\left(\dfrac{1}{\sqrt{10}},0,\dfrac{3}{\sqrt{10}}\right),~\left(\dfrac{39}{\sqrt{4190}},\dfrac{50}{\sqrt{4190}},-\dfrac{13}{\sqrt{4190}}\right)\}}}$